Questão 14. Determine a solução geral das EDOc)
, onde
(Resp.
, onde
Passo 1
Temos a EDO de primeiro ordem
com a condição
Passo 2
Da condição
segue que existe
tal que
Então o denominador e o numerador podem ser escritos em função de
e da constante
.
Passo 3
Introduzimos a nova variável
$$z = a x + b y.
Substituindo
pela EDO original e usando
, obtemos
$$\frac{dz}{dx} = a + b\frac{z + m}{k z + n} = \frac{(a k + b)z + (a n + b m)}{k z + n}.
\quad M = b m + a n,
$$
Passo 4
Agora a equação é separável. Escrevemos
$$(k z + n),dz = (s z + M),dx
$$
Passo 5
Isolando o termo logarítmico e substituindo
,
,
e
, ajustamos as constantes e obtemos a forma final implícita da solução geral: Finalizando a forma sugerida pelo enunciado, com
:
Passo 6
$
Resposta
\ln\bigl|(b+c)z + d m + c n\bigr| = \frac{(b+c)z + d m + c n + (n b - d m)}{(b+c)^{2}(x + C)}, onde z = a x + b y