Questão 14. Determine a solução geral das EDOc) y^prime=a x+b y+mc x+d y+n, onde a d-b c=0 (Resp. ln |(b+c) z+d m+c n|=(b+c) z+d m+c n+(n b-d m)(b+c)^2(x+C), onde z=a x+b y)

Passo 1

Temos a EDO de primeiro ordem
y' = a x + b y + mc x + d y + n,
com a condição a d - b c = 0. O conteúdo aqui é usar uma mudança de variável que torne a equação separável, explorando que quando a d - b c=0 os coeficientes formam uma proporção.

Passo 2

Da condição a d - b c=0 segue que existe k tal que
c = k a, d = k b
Então o denominador e o numerador podem ser escritos em função de z = a x + b y e da constante n.

Passo 3

Introduzimos a nova variável
$$z = a x + b y.
z = a x + b y çã\frac{dz}{dx} = a + b\frac{dy}{dx} = a + b y’.$$
Substituindo x pela EDO original e usando dzdx = a + bdydx = a + b y', obtemos
$$\frac{dz}{dx} = a + b\frac{z + m}{k z + n} = \frac{(a k + b)z + (a n + b m)}{k z + n}.
y's = b + c,
\quad M = b m + a n,
c x + d y = k(a x + b y) = k z\frac{dz}{dx} = \frac{s z + M}{k z + n}.
$$

Passo 4

Agora a equação é separável. Escrevemos
$$(k z + n),dz = (s z + M),dx
(k z + n),dz = (s z + M),dx \frac{k z + n}{s z + M} = \frac{k}{s} + \frac{n s - k M}{s(s z + M)}
k z + ns z + M = ks + n s - k Ms(s z + M) \int\frac{k z + n}{s z + M},dz = \frac{k}{s}z + \frac{n s - k M}{s^2}\ln\bigl|s z + M\bigr| + C_1 = x + C.
$$

Passo 5

Isolando o termo logarítmico e substituindo s=b+c, k=c/a, M=b m + a n e n s-kM=n b - d m, ajustamos as constantes e obtemos a forma final implícita da solução geral: Finalizando a forma sugerida pelo enunciado, com z=a x+b y:

Passo 6

$ lnl|(b+c)z + d m + c nr| = (b+c)z + d m + c n + (n b - d m)(b+c)^2,(x + C)

Resposta

\ln\bigl|(b+c)z + d m + c n\bigr| = \frac{(b+c)z + d m + c n + (n b - d m)}{(b+c)^{2}(x + C)}, onde z = a x + b y

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