Encontre Du f no ponto P dado:
f(x, y, z)=ye^xz+z^2 ; P(0,2,3) ; u=27 i-37 j+67 k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos usar o conceito de derivada direcional, que basicamente nos diz como a função muda em uma direção específica. Vamos precisar calcular o gradiente da função no ponto e fazer o produto escalar com o vetor .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional Du f = nabla f cdot u é calculada pelo produto escalar entre o gradiente de e o vetor . Ou seja:
Então, precisamos encontrar o gradiente da função .

Passo 3

O gradiente f(x, y, z) = y e^xz + z^2 é um vetor que contém as derivadas parciais de partial fpartial x = y cdot z e^xz em relação a cada variável. Para a nossa função:
partial fpartial y = e^xz
Vamos calcular as derivadas parciais:
  • Derivada parcial em relação a partial fpartial z = yx e^xz + 2z :
  • Derivada parcial em relação a :
  • Derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto partial fpartial x|P = 2 cdot 3 cdot e^0 cdot 3 = 6 cdot e^0 = 6 cdot 1 = 6 :
  • Avaliação de partial fpartial y|P = e^0 cdot 3 = e^0 = 1 em partial fpartial z|P = 2 cdot 0 cdot e^0 cdot 3 + 2 cdot 3 = 0 + 6 = 6 :
  • Avaliação de em :
  • Avaliação de em :

Passo 5

Com isso, o gradiente nabla f(P) = (6, 1, 6) no ponto u = 27 i - 37 j + 67 k é:
Agora, vamos lembrar que o vetor já está dado como um vetor unitário:

Passo 6

Vamos calcular o produto escalar entre Du f = nabla f(P) cdot u = 6 cdot 27 + 1 cdot (-37) + 6 cdot 67 e Du f = 127 - 37 + 367 = 12 - 3 + 367 = 457 :
Fazendo as contas:

Resposta

A derivada direcional no ponto na direção de é .

Exercícios relacionados