Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos usar o conceito de derivada direcional, que basicamente nos diz como a função muda em uma direção específica. Vamos precisar calcular o gradiente da função no ponto e fazer o produto escalar com o vetor .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional é calculada pelo produto escalar entre o gradiente de e o vetor . Ou seja:
Então, precisamos encontrar o gradiente da função .
Passo 3
O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a cada variável. Para a nossa função:
Vamos calcular as derivadas parciais:
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :
Avaliação de em :
Avaliação de em :
Avaliação de em :
Passo 5
Com isso, o gradiente nabla f(P) = (6, 1, 6) no ponto u = 27 i - 37 j + 67 k é:
Agora, vamos lembrar que o vetor já está dado como um vetor unitário:
Passo 6
Vamos calcular o produto escalar entre Du f = nabla f(P) cdot u = 6 cdot 27 + 1 cdot (-37) + 6 cdot 67 e Du f = 127 - 37 + 367 = 12 - 3 + 367 = 457 :