Questão 23. Determine a solução do PVI
(Resp.
y(x)=(45 raizx-825) e^raizx / 2+1625 e^-2 raizx)
Passo 1
Na questão temos o problema de valor inicial (PVI)
O conteúdo é equação diferencial linear de primeira ordem e vamos usar o fator integrante para resolver.
Passo 2
Reconhecemos a equação na forma
y'+P(x)y=Q(x) com
$$P(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}, \quad Q(x)=e^{\sqrt{x}/2}.
\mu(x)=e^{\int P(x),dx}=e{\int\frac{1}{\sqrt{x}},dx}=e{2\sqrt{x}}.
$$
Passo 3
Multiplicando a equação original por
mu(x)=e^2raizx , obtemos
O lado esquerdo é a derivada do produto
(e^2raizxy)' , e o lado direito fica
Portanto
Passo 4
Agora integramos ambos os lados em relação a
x . Para a integral do lado direito fazemos a substituição
t=raizx ,
dx=2t,dt :
Usando integração por partes em
integral2t e^(5/2)tdt surge
Voltando a
x ,
Passo 5
Isso nos dá
Isolando
y :
Passo 6
Aplicamos a condição inicial
y(0)=tfrac825 . Ao avaliar em
x=0 temos
Resposta
y(x)=\left(\frac{4}{5}\sqrt{x}-\frac{8}{25}\right)e{\sqrt{x}/2}+\frac{16}{25}e{-2\sqrt{x}}