Questão 23. Determine a solução do PVI
y^prime+1raizx y & =e^raizx / 2 y(0) & =8 / 25
(Resp. y(x)=(45 raizx-825) e^raizx / 2+1625 e^-2 raizx)

Passo 1

Na questão temos o problema de valor inicial (PVI)
y' + 1raizx,y = e^raizx/2, y(0)=825
O conteúdo é equação diferencial linear de primeira ordem e vamos usar o fator integrante para resolver.

Passo 2

Reconhecemos a equação na forma y'+P(x)y=Q(x) com
$$P(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}, \quad Q(x)=e^{\sqrt{x}/2}.
P(x)=1raizx, Q(x)=e^raizx/2 é
\mu(x)=e^{\int P(x),dx}=e{\int\frac{1}{\sqrt{x}},dx}=e{2\sqrt{x}}.
$$

Passo 3

Multiplicando a equação original por mu(x)=e^2raizx, obtemos
e^2raizxy' + e^2raizxraizxy = e^2raizxe^raizx/2
O lado esquerdo é a derivada do produto (e^2raizxy)', e o lado direito fica
e^2raizxe^raizx/2=e^(5/2)raizx
Portanto
l(e^2raizxyr)' = e^(5/2)raizx

Passo 4

Agora integramos ambos os lados em relação a x. Para a integral do lado direito fazemos a substituição t=raizx, dx=2t,dt:
integral e^(5/2)raizx,dx = integral e^(5/2)t,2t,dt
Usando integração por partes em integral2t e^(5/2)tdt surge
integral2t e^(5/2)tdt = e^(5/2)tl(4t5-825r)+C
Voltando a x,
integral e^(5/2)raizxdx = e^(5/2)raizxl(4raizx5-825r)+C

Passo 5

Isso nos dá
e^2raizxy = e^(5/2)raizxl(4raizx5-825r) + C
Isolando y:
y = e^-2raizxl[e^(5/2)raizxl(4raizx5-825r) + Cr] = l(4raizx5-825r)e^raizx/2 + C e^-2raizx

Passo 6

Aplicamos a condição inicial y(0)=tfrac825. Ao avaliar em x=0 temos
y(0) = -825 + C = 825 implies C=1625

Resposta

y(x)=\left(\frac{4}{5}\sqrt{x}-\frac{8}{25}\right)e{\sqrt{x}/2}+\frac{16}{25}e{-2\sqrt{x}}

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