Encontre a derivada direcional de f em P na direção de a:
f(x, y)=4 x^3 y^2 ; P(2,1) ; a=4 i-3 j

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos precisar entender o que é derivada direcional, calcular o gradiente da função e usar a fórmula da derivada direcional.

Passo 2

Primeiro, a derivada direcional mede como a função está mudando em uma direção específica a partir de um ponto. Para calcular isso, a gente usa o gradiente da função, que é um vetor com as derivadas parciais em relação a e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de partial fpartial x = partialpartial x (4x^3 y^2) = 12x^2 y^2 :
partial fpartial y = partialpartial y (4x^3 y^2) = 8x^3 y
nabla f(x, y) = (12x^2 y^2, 8x^3 y)
Então, o gradiente de é:

Passo 4

Vamos avaliar o gradiente no ponto nabla f(2, 1) = (12 times 2^2 times 1^2, 8 times 2^3 times 1) = (12 times 4 times 1, 8 times 8 times 1) = (48, 64) :

Passo 5

Agora, precisamos normalizar o vetor direção u = a|a| = (4, -3)raiz4^2 + (-3)^2 = (4, -3)5 = (45, -35) . A unidade desse vetor é dada por:

Passo 6

A fórmula da derivada direcional é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário na direção desejada:
Du f = nabla f cdot u = (48, 64) cdot (45, -35) = 48 times 45 + 64 times (-35)

Passo 7

Vamos calcular:
48 times 45 = 1925 = 38,4
64 times (-35) = -1925 = -38,4
Então,
Du f = 38,4 - 38,4 = 0

Resposta

A derivada direcional de em na direção de é 0.

Exercícios relacionados