Encontre a derivada direcional de f em P na direção de a:
f(x, y)=e^x cos (y) ; P(0, pi / 4) ; a=5 i-2 j

Passo 1

Vamos começar resumindo a questão. Queremos encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos precisar calcular o gradiente da função, normalizar o vetor direção e, por fim, calcular o produto escalar entre o gradiente e o vetor normalizado.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y ) . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de partial fpartial x = e^x cos(y) em relação a partial fpartial y = -e^x sin(y) e nabla f = ( e^x cos(y), -e^x sin(y) ) :
Calculando as derivadas:
Portanto,

Passo 3

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto nabla f(P) = ( e^0 cos( pi4 ), -e^0 sin( pi4 ) ) = ( 1 cdot raiz22, -1 cdot raiz22 ) = ( raiz22, -raiz22 ) :

Passo 4

Em seguida, precisamos normalizar o vetor direção u = a||a|| . A normalização é importante porque a derivada direcional depende apenas da direção do vetor, não do seu tamanho. A fórmula para normalizar um vetor ||a|| = raiz5^2 + (-2)^2 = raiz25 + 4 = raiz29 é:
u = ( 5raiz29, -2raiz29 )
Onde é a norma de , calculada por:
Então,

Passo 5

Agora, podemos calcular a derivada direcional Duf = nabla f(P) cdot u = ( raiz22, -raiz22 ) cdot ( 5raiz29, -2raiz29 ) = raiz22 cdot 5raiz29 + ( -raiz22 ) cdot -2raiz29 = 5raiz22raiz29 + 2raiz22raiz29 = 7raiz22raiz29 como o produto escalar entre o gradiente de em e o vetor normalizado :

Resposta

A derivada direcional de Daf = 7raiz22raiz29 em na direção de é:

Exercícios relacionados