Encontre a derivada direcional de
em P na direção de a:
Passo 1
Vamos começar resumindo a questão. Queremos encontrar a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
. Para isso, vamos precisar calcular o gradiente da função, normalizar o vetor direção e, por fim, calcular o produto escalar entre o gradiente e o vetor normalizado.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Calculando as derivadas:
Portanto,
Passo 3
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Passo 4
Em seguida, precisamos normalizar o vetor direção
. A normalização é importante porque a derivada direcional depende apenas da direção do vetor, não do seu tamanho. A fórmula para normalizar um vetor
é:
Onde
é a norma de
, calculada por:
Então,
Passo 5
Agora, podemos calcular a derivada direcional
como o produto escalar entre o gradiente de
em
e o vetor normalizado
:
Resposta
A derivada direcional de
em
na direção de
é: