(2 pontos) Seja A=1,2,3,4,5,6,7,8. Considere a relação sobre A definida por R=mid ou a mid b (divide).
© Diga se ela é reflexiva, simétrica ou transitiva. Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede para analisar a relação sobre o conjunto A={1,2,3,4,5,6,7,8} definida por R = “a divide b” e verificar se R é reflexiva, simétrica e transitiva.

Passo 2

Para testar a reflexividade lembramos que uma relação é reflexiva se, para todo a em A, valer aRa. Aqui isso significa verificar se amid a para todo ain A. Como todo número divide a si mesmo (basta escrever a=1cdot a), concluímos que R é reflexiva.

Passo 3

Para testar a simetria lembramos que uma relação é simétrica se, sempre que aRb, também vale bRa. No caso da divisibilidade, isso exigiria que, sempre que amid b, tivéssemos bmid a. Mas, por exemplo, 2mid 4 é verdadeiro e 4mid 2 é falso. Logo R não é simétrica.

Passo 4

Para testar a transitividade lembramos que uma relação é transitiva se, sempre que aRb e bRc, também valer aRc. Na divisibilidade, se amid b e bmid c, existem inteiros k e l tais que b = k,a e c = l,b. Então c = (l,k),a, mostrando que amid c. Portanto R é transitiva.

Resposta

A relação R é reflexiva e transitiva, mas não é simétrica.

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