(2 pontos) Seja
. Considere a relação sobre
definida por
ou a
(divide).
© Diga se ela é reflexiva, simétrica ou transitiva. Justifique sua resposta.
© Diga se ela é reflexiva, simétrica ou transitiva. Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a relação sobre o conjunto A={1,2,3,4,5,6,7,8} definida por R = “a divide b” e verificar se R é reflexiva, simétrica e transitiva.
Passo 2
Para testar a reflexividade lembramos que uma relação é reflexiva se, para todo a em A, valer aRa. Aqui isso significa verificar se
para todo
. Como todo número divide a si mesmo (basta escrever
), concluímos que R é reflexiva.
Passo 3
Para testar a simetria lembramos que uma relação é simétrica se, sempre que
, também vale
. No caso da divisibilidade, isso exigiria que, sempre que
, tivéssemos
. Mas, por exemplo,
é verdadeiro e
é falso. Logo R não é simétrica.
Passo 4
Para testar a transitividade lembramos que uma relação é transitiva se, sempre que
e
, também valer
. Na divisibilidade, se
e
, existem inteiros k e l tais que
e
. Então
, mostrando que
. Portanto R é transitiva.
Resposta
A relação R é reflexiva e transitiva, mas não é simétrica.