Questão 8. Resolva os seguintes problemas de Cauchy:
y^prime+y & =cos (x) y(0) & =1 / 2 ( Resp. y=12(cos x+sin x))

Passo 1

Temos o problema de Cauchy:
y' + y = cos(x), y(0) = tfrac12
O conteúdo é equação diferencial ordinária linear de primeira ordem e vamos usar fator integrante.

Passo 2

Para uma EDO linear y' + P(x)y = Q(x), o fator integrante é mu(x) = e^integral P(x),dx. Aqui temos P(x)=1, logo
mu(x) = e^integral 1,dx = e^x

Passo 3

Multiplicando a equação original por mu(x)=e^x, obtemos
e^x y' + e^x y = e^x cos x
O lado esquerdo é a derivada de e^x y, ou seja,
ddx(e^x y) = e^x cos x

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral ddx(e^x y),dx = integral e^x cos x,dx
O lado esquerdo vira e^x y. Para o direito, usando integração por partes, temos
integral e^x cos x,dx = tfrac12 e^x(sin x + cos x) + C
Logo
e^x y = tfrac12 e^x(sin x + cos x) + C
Dividindo por e^x:
y = tfrac12(sin x + cos x) + Ce^-x

Passo 5

Usando a condição inicial y(0)=tfrac12, obtemos
tfrac12 = tfrac12(0 + 1) + Ccdot 1 = tfrac12 + C
Logo C=0. Portanto a solução do problema de Cauchy é

Resposta

y = 12(cos x + sin x)

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