Encontre nabla z ou nabla w :
z=6 x e^3 yx+8 y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o gradiente de uma função ou . Aqui, temos . O gradiente é um conceito de cálculo vetorial que nos dá as derivadas parciais da função em relação a cada variável. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e a .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de z = 6x e^3yx + 8y em relação a u' = 6 e^3y , que é representada por v' = 1 .
Temos:
partial zpartial x = 6 e^3y (x + 8y) - 6x e^3y (1)(x + 8y)^2
Vamos usar a regra do quociente, que diz que a derivada de = 6 e^3y (x + 8y - x)(x + 8y)^2 é = 48 y e^3y(x + 8y)^2 .
Aqui, e .
Calculando (derivada de em relação a ):
Calculando (derivada de em relação a ):
Aplicando a regra do quociente:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de z = 6x e^3yx + 8y em relação a u' = 6x cdot 3 e^3y = 18x e^3y , que é v' = 8 .
Usando novamente a regra do quociente:
partial zpartial y = 18x e^3y (x + 8y) - 6x e^3y (8)(x + 8y)^2
Aqui, = 18x e^3y (x + 8y) - 48x e^3y(x + 8y)^2 e = 18x^2 e^3y + 144x y e^3y - 48x e^3y(x + 8y)^2 .
Calculando = 18x^2 e^3y + 144x y e^3y - 48x e^3y(x + 8y)^2 (derivada de = e^3y (18x^2 + 144xy - 48x)(x + 8y)^2 em relação a = e^3y (6x^2 + 48xy - 16x)(x + 8y)^2 ):
Calculando (derivada de em relação a ):
Aplicando a regra do quociente:
Podemos simplificar colocando em evidência:

Passo 4

Com as derivadas parciais calculadas, agora vamos montar o vetor gradiente nabla z = ( partial zpartial x, partial zpartial y ) , que é formado por essas derivadas:
nabla z = ( 48 y e^3y(x + 8y)^2, e^3y (6x^2 + 48xy - 16x)(x + 8y)^2 )
Substituindo as derivadas que encontramos:

Resposta

O gradiente de nabla z = ( 48 y e^3y(x + 8y)^2, e^3y (6x^2 + 48xy - 16x)(x + 8y)^2 ) é dado por:

Exercícios relacionados