Resolva a equação diferencial usando variação dos parâmetros.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem não-homogênea
usando variação de parâmetros. Vamos usar que a solução geral é
, onde
vem da parte homogênea e
vem do método de variação de parâmetros.
Passo 2
Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:
A equação característica é
, cujas raízes são
e
. Logo,
Passo 3
Para aplicar variação de parâmetros, seja
e
. Precisamos do Wronskiano:
Passo 4
As fórmulas de variação de parâmetros dão:
Substituindo
:
Passo 5
Agora integramos para achar
e
:
Passo 6
A solução particular é
$$
y_p = u_1 y_1 + u_2 y_2
= \Bigl(-\frac{x e^{-3x}}{12} - \frac{7e{-3x}}{36}\Bigr)e{3x}
+ \Bigl(-\frac{x e^x}{4} - \frac{ex}{4}\Bigr)e{-x}
y_p = u_1 y_1 + u_2 y_2
= \Bigl(-\frac{x e^{-3x}}{12} - \frac{7e{-3x}}{36}\Bigr)e{3x}
+ \Bigl(-\frac{x e^x}{4} - \frac{ex}{4}\Bigr)e{-x}
= -\frac{x}{3} - \frac{4}{9}.
$$
Passo 7
Portanto, a solução geral da equação é