Resolva a equação diferencial usando variação dos parâmetros.
y^prime prime-2 y^prime-3 y=x+2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem não-homogênea y''-2y'-3y = x+2 usando variação de parâmetros. Vamos usar que a solução geral é y = yh + yp, onde yh vem da parte homogênea e yp vem do método de variação de parâmetros.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:
y'' - 2y' - 3y = 0
A equação característica é r^2 -2r -3 = 0, cujas raízes são r=3 e r=-1. Logo,
yh = C1 e^3x + C2 e^-x

Passo 3

Para aplicar variação de parâmetros, seja y1 = e^3x e y2 = e^-x. Precisamos do Wronskiano:

Passo 4

As fórmulas de variação de parâmetros dão:
u1' = -y2,(x+2)W, u2' = y1,(x+2)W
Substituindo y1,y2,W:
u1' = x+24e^3x, u2' = -(x+2)e^x4

Passo 5

Agora integramos para achar u1 e u2:
u1 = integral x+24e^-3x,dx = -x e^-3x12 - 7e^-3x36,
u2 = integral -x+24e^x,dx = -x e^x4 - e^x4

Passo 6

A solução particular é
$$
y_p = u_1 y_1 + u_2 y_2
= \Bigl(-\frac{x e^{-3x}}{12} - \frac{7e{-3x}}{36}\Bigr)e{3x}
+ \Bigl(-\frac{x e^x}{4} - \frac{ex}{4}\Bigr)e{-x}
= -\frac{x}{3} - \frac{4}{9}.
$$

Passo 7

Portanto, a solução geral da equação é
y(x) = yh + yp = C1 e^3x + C2 e^-x - x3 - 49

Resposta

y(x) = C1 e^3x + C2 e^-x - tfracx3 - tfrac49.

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