Resolva a equação diferencial usando coeficientes indeterminados.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem linear não homogênea usando o método dos coeficientes indeterminados:
Vamos precisar achar primeiro a solução geral da equação homogênea associada e depois uma solução particular para o termo não homogêneo.
Passo 2
Começamos pela parte homogênea. Montamos a equação característica associada:
Resolvendo para
obtemos as raízes
e
. Logo a solução geral homogênea é
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
para o lado direito
. Como é um polinômio de grau 1 e não coincide com nenhuma parte de
, propomos o ensaio
Passo 4
Vamos derivar e substituir em
:
Substituindo em
obtemos
Passo 5
Reorganizando, temos
Igualando coeficientes em
e termo constante:
Para
:
⇒
Para termo constante:
⇒
⇒
⇒
⇒
Passo 6
Finalmente, a solução geral da equação não homogênea é a soma de
e
:
Resposta
y(x) = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-x} - \tfrac{1}{3}x - \tfrac{4}{9}