Resolva a equação diferencial usando coeficientes indeterminados.
y^prime prime-2 y^prime-3 y=x+2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem linear não homogênea usando o método dos coeficientes indeterminados:
y''-2y'-3y = x+2
Vamos precisar achar primeiro a solução geral da equação homogênea associada e depois uma solução particular para o termo não homogêneo.

Passo 2

Começamos pela parte homogênea. Montamos a equação característica associada:
r^2 - 2r - 3 = 0
Resolvendo para r obtemos as raízes r=3 e r=-1. Logo a solução geral homogênea é
yh(x) = C1 e^3x + C2 e^-x

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular yp para o lado direito x+2. Como é um polinômio de grau 1 e não coincide com nenhuma parte de yh, propomos o ensaio
yp(x) = A x + B

Passo 4

Vamos derivar e substituir em y''-2y'-3y:
yp'(x) = A,
yp''(x) = 0
Substituindo em y'' - 2y' - 3y obtemos
0 - 2A - 3(Ax + B) = x + 2

Passo 5

Reorganizando, temos
-3A,x + (-2A - 3B) = 1cdot x + 2
Igualando coeficientes em x e termo constante:
Para x: -3A = 1 A = -tfrac13
Para termo constante: -2A - 3B = 2 -2(-tfrac13) - 3B = 2 tfrac23 - 3B = 2 -3B = tfrac43 B = -tfrac49

Passo 6

Finalmente, a solução geral da equação não homogênea é a soma de yh e yp:
y(x) = C1 e^3x + C2 e^-x + l(-tfrac13x - tfrac49r)

Resposta

y(x) = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-x} - \tfrac{1}{3}x - \tfrac{4}{9}

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