Encontre a derivada direcional de f em P na direção de \mathbf{a}.
f(x, y, z)=x y+z^{2} ; P(-3,0,4) ;\quad \mathbf{a}=\mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede: a derivada direcional de f no ponto P na direção do vetor \mathbf{a}.
  • Nos dá:
    • f(x,y,z)=x y+z^{2}.
    • P=(-3,0,4).
    • \mathbf{a}=\mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k}.
Observação importante: por convenção a derivada direcional é tomada na direção de um vetor unitário. Então primeiro teremos que transformar \mathbf{a} em um vetor unitário \mathbf{u}. A resposta final será o valor de D_{\mathbf{u}}f(P).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicadinho):
  • Definição informal: a derivada direcional de f em P na direção de um vetor unitário \mathbf{u} mede a taxa de variação de f quando nos movemos em P na direção \mathbf{u}.
  • Fórmula prática (a mais usada em provas): se \nabla f é o gradiente de f, então
D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot\mathbf{u}.
Explicação das partes:
  • \nabla f(P) é o vetor formado pelas derivadas parciais de f avaliadas em P: \nabla f(P)=(f_x(P),f_y(P),f_z(P)).
  • \mathbf{u} é o vetor unitário na direção desejada (o vetor direção dividido pela sua norma).
  • O produto escalar \cdot junta essas informações e dá a taxa de variação na direção de \mathbf{u}.
Por que exigimos vetor unitário? Porque se não fosse unitário a magnitude do vetor influenciaria o resultado (a derivada mudaria pela mesma escala), e nós queremos apenas a direção, não a velocidade de deslocamento.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f (a “aula” sobre derivada parcial):
  • Para achar f_x derivamos f em relação a x tratando y,z como constantes. Em f(x,y,z)=x y+z^{2} a derivada de x y em relação a x é y (pois y é constante) e z^{2} não depende de x, então:
f_x(y)=y.
  • Para f_y derivamos em relação a y tratando x,z constantes; a derivada de x y em relação a y é x, e z^{2} é constante:
f_y(x)=x.
  • Para f_z derivamos em relação a z; só z^{2} contribui: a derivada é 2z:
f_z(z)=2z.
Ou seja,
\nabla f(x,y,z)=(y,\;x,\;2z).

Passo 4

Avaliar o gradiente em P=(-3,0,4):
  • Calcular cada componente em P: f_x(P)=y\big|_{P}=0, \qquad f_y(P)=x\big|_{P}=-3, \qquad f_z(P)=2z\big|_{P}=2\cdot4=8.
  • Logo
\nabla f(P)=(0,\,-3,\;8).

Passo 5

Obter o vetor unitário \mathbf{u} na direção de \mathbf{a}=\mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k}:
  • Norma de \mathbf{a}:
\|\mathbf{a}\|=\sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}}=\sqrt{3}.
  • Vetor unitário
\mathbf{u}=\frac{\mathbf{a}}{\|\mathbf{a}\|}=\frac{1}{\sqrt{3}}(\,1,1,1\,).

Passo 6

Calcular a derivada direcional usando o produto escalar:
  • Aplico a fórmula \;D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot\mathbf{u}\;:
D_{\mathbf{u}}f(P)=(0,\,-3,\;8)\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1).
  • Fazendo o produto escalar:
D_{\mathbf{u}}f(P)=\frac{1}{\sqrt{3}}\big(0+(-3)+8\big)=\frac{5}{\sqrt{3}}.
Interpretação rápida: ao mover-se a partir de P na direção que tem componentes iguais em x,y,z, a taxa instantânea de variação de f vale \dfrac{5}{\sqrt{3}}.

Resposta

\dfrac{5}{\sqrt{3}}

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