Encontre a derivada direcional de f em P na direção de \mathbf{a}. f(x, y, z)=x y+z^{2} ; P(-3,0,4) ;\quad \mathbf{a}=\mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k}
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
Pede: a derivada direcional de f no ponto P na direção do vetor \mathbf{a}.
Nos dá:
f(x,y,z)=x y+z^{2}.
P=(-3,0,4).
\mathbf{a}=\mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k}.
Observação importante: por convenção a derivada direcional é tomada na direção de um vetor unitário. Então primeiro teremos que transformar \mathbf{a} em um vetor unitário \mathbf{u}. A resposta final será o valor de D_{\mathbf{u}}f(P).
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicadinho):
Definição informal: a derivada direcional de f em P na direção de um vetor unitário \mathbf{u} mede a taxa de variação de f quando nos movemos em P na direção \mathbf{u}.
Fórmula prática (a mais usada em provas): se \nabla f é o gradiente de f, então
D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot\mathbf{u}.
Explicação das partes:
\nabla f(P) é o vetor formado pelas derivadas parciais de f avaliadas em P: \nabla f(P)=(f_x(P),f_y(P),f_z(P)).
\mathbf{u} é o vetor unitário na direção desejada (o vetor direção dividido pela sua norma).
O produto escalar \cdot junta essas informações e dá a taxa de variação na direção de \mathbf{u}.
Por que exigimos vetor unitário? Porque se não fosse unitário a magnitude do vetor influenciaria o resultado (a derivada mudaria pela mesma escala), e nós queremos apenas a direção, não a velocidade de deslocamento.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de f (a “aula” sobre derivada parcial):
Para achar f_x derivamos f em relação a x tratando y,z como constantes. Em f(x,y,z)=x y+z^{2} a derivada de x y em relação a x é y (pois y é constante) e z^{2} não depende de x, então:
f_x(y)=y.
Para f_y derivamos em relação a y tratando x,z constantes; a derivada de x y em relação a y é x, e z^{2} é constante:
f_y(x)=x.
Para f_z derivamos em relação a z; só z^{2} contribui: a derivada é 2z:
f_z(z)=2z.
Ou seja,
\nabla f(x,y,z)=(y,\;x,\;2z).
Passo 4
Avaliar o gradiente em P=(-3,0,4):
Calcular cada componente em P:f_x(P)=y\big|_{P}=0, \qquad f_y(P)=x\big|_{P}=-3, \qquad f_z(P)=2z\big|_{P}=2\cdot4=8.
Logo
\nabla f(P)=(0,\,-3,\;8).
Passo 5
Obter o vetor unitário \mathbf{u} na direção de \mathbf{a}=\mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k}:
Interpretação rápida: ao mover-se a partir de P na direção que tem componentes iguais em x,y,z, a taxa instantânea de variação de f vale \dfrac{5}{\sqrt{3}}.