Encontre a derivada direcional de
em
na direção de
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
.
Informações fornecidas:
- A função é
. - O ponto é
. - O vetor direção é
, ou seja .
Passo 2
O que é a derivada direcional?
- A derivada direcional de
no ponto na direção do vetor unitário mede a taxa de variação de em quando nos movemos na direção de . - A fórmula usada é
onde
é o gradiente de
em
(vetor das derivadas parciais) e
é o produto escalar.
- Observação importante: a direção deve ser representada por um vetor unitário
. Se tivermos um vetor qualquer , primeiro normalizamos por .
Passo 3
Calculando o gradiente de
. Seja
, então
. Derivando parcialmente (regra da cadeia):
Portanto
Passo 4
Avaliar o gradiente em
. Primeiro calcule o expoente:
Então
Passo 5
Normalizar o vetor direção
. Calcular sua norma:
Logo o vetor unitário correspondente é
Passo 6
Calcular o produto escalar
:
Fazendo o produto:
Multiplicando pelo fator
: