Encontre a derivada direcional de f em P na direção de \mathbf{a}.
f(x, y, z)=e^{x+y+3 z} ; P(-2,2,-1) ;\quad \mathbf{a}=20 \mathbf{i}-4 \mathbf{j}+5 \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a derivada direcional de f no ponto P na direção do vetor \mathbf{a}.
Informações fornecidas:
  • A função é f(x,y,z)=e^{x+y+3z}.
  • O ponto é P(-2,2,-1).
  • O vetor direção é \mathbf{a}=20\mathbf{i}-4\mathbf{j}+5\mathbf{k}, ou seja \mathbf{a}=(20,-4,5).

Passo 2

O que é a derivada direcional?
  • A derivada direcional de f no ponto P na direção do vetor unitário \mathbf{u} mede a taxa de variação de f em P quando nos movemos na direção de \mathbf{u}.
  • A fórmula usada é
D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot\mathbf{u},
onde \nabla f(P) é o gradiente de f em P (vetor das derivadas parciais) e \cdot é o produto escalar.
  • Observação importante: a direção deve ser representada por um vetor unitário \mathbf{u}. Se tivermos um vetor qualquer \mathbf{a}, primeiro normalizamos por \mathbf{u}=\dfrac{\mathbf{a}}{\|\mathbf{a}\|}.

Passo 3

Calculando o gradiente de f. Seja g(x,y,z)=x+y+3z, então f(x,y,z)=e^{g(x,y,z)}. Derivando parcialmente (regra da cadeia):
\frac{\partial f}{\partial x}=e^{g}\cdot\frac{\partial g}{\partial x}=e^{x+y+3z}\cdot 1 = e^{x+y+3z},
\frac{\partial f}{\partial y}=e^{x+y+3z}\cdot 1 = e^{x+y+3z},
\frac{\partial f}{\partial z}=e^{x+y+3z}\cdot 3 = 3e^{x+y+3z}.
Portanto
\displaystyle \nabla f(x,y,z)=\bigl(e^{x+y+3z},\; e^{x+y+3z},\; 3e^{x+y+3z}\bigr).

Passo 4

Avaliar o gradiente em P(-2,2,-1). Primeiro calcule o expoente:
x+y+3z = -2 + 2 + 3(-1) = -3.
Então
\nabla f(P)=\bigl(e^{-3},\; e^{-3},\; 3e^{-3}\bigr)=e^{-3}\,(1,1,3).

Passo 5

Normalizar o vetor direção \mathbf{a}=(20,-4,5). Calcular sua norma:
\|\mathbf{a}\|=\sqrt{20^{2}+(-4)^{2}+5^{2}}=\sqrt{400+16+25}=\sqrt{441}=21.
Logo o vetor unitário correspondente é
\mathbf{u}=\frac{\mathbf{a}}{\|\mathbf{a}\|}=\Bigl(\frac{20}{21},\; \frac{-4}{21},\; \frac{5}{21}\Bigr).

Passo 6

Calcular o produto escalar \nabla f(P)\cdot\mathbf{u}:
\nabla f(P)\cdot\mathbf{u}=e^{-3}\,(1,1,3)\cdot\Bigl(\frac{20}{21},\frac{-4}{21},\frac{5}{21}\Bigr).
Fazendo o produto:
(1)\cdot\frac{20}{21} + (1)\cdot\frac{-4}{21} + (3)\cdot\frac{5}{21} = \frac{20-4+15}{21}=\frac{31}{21}.
Multiplicando pelo fator e^{-3}:
D_{\mathbf{u}}f(P)=\frac{31}{21}\,e^{-3}.

Resposta

\dfrac{31}{21}\,e^{-3}

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