Uma maneira prática e muito usada na prova: considerar a função de uma variável g(t)=f\big(a+tv_1,\;b+tv_2\big). Então a derivada direcional é simplesmente g'(0).
Pelo Regra da Cadeia (para funções de várias variáveis), esse g'(0) pode ser escrito em termos das derivadas parciais de f:
g'(0)=f_x(a,b)\,v_1+f_y(a,b)\,v_2,
onde f_x e f_y são as derivadas parciais de f em relação a x e y, respectivamente.
O vetor \nabla f(a,b)=(f_x(a,b),f_y(a,b)) é o gradiente; então a fórmula compacta é
\frac{\partial f}{\partial v}(a,b)=\nabla f(a,b)\cdot v.
Observação importante: essa fórmula exige que v seja unitário. Se v não for unitário, primeiro normaliza-se v dividindo pelo seu módulo. Aqui o vetor dado já tem aparência unitária, mas vamos checar explicitamente no próximo passo.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais f_x e f_y.
A função interna é u(x,y)=5x-3y. Para derivar f(x,y)=\operatorname{sen}(u(x,y)) usa-se a regra da cadeia: derivada de \operatorname{sen}(u) é \cos(u)\cdot u'.