Encontre a derivada direcional \frac{\partial f}{\partial v}(3,5), onde f(x, y)=\operatorname{sen}(5 x-3 y) \mathrm{e} v=\left(\frac{3}{5},-\frac{4}{5}\right).

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pede-se a derivada direcional \frac{\partial f}{\partial v}(3,5) da função no ponto (3,5) na direção do vetor v.
  • A função dada é f(x,y)=\operatorname{sen}(5x-3y).
  • O vetor direção é v=\left(\dfrac{3}{5},-\dfrac{4}{5}\right).
Estas são todas as informações relevantes. A partir daqui vamos calcular passo a passo a derivada direcional.

Passo 2

Definição e ideia prática (passo-a-passo didático).
  • A derivada direcional de f em (a,b) na direção de um vetor unitário v=(v_1,v_2) é, por definição,
\frac{\partial f}{\partial v}(a,b)=\lim_{t\to0}\frac{f\big(a+tv_1,\;b+tv_2\big)-f(a,b)}{t}.
  • Uma maneira prática e muito usada na prova: considerar a função de uma variável g(t)=f\big(a+tv_1,\;b+tv_2\big). Então a derivada direcional é simplesmente g'(0).
  • Pelo Regra da Cadeia (para funções de várias variáveis), esse g'(0) pode ser escrito em termos das derivadas parciais de f:
g'(0)=f_x(a,b)\,v_1+f_y(a,b)\,v_2,
onde f_x e f_y são as derivadas parciais de f em relação a x e y, respectivamente.
  • O vetor \nabla f(a,b)=(f_x(a,b),f_y(a,b)) é o gradiente; então a fórmula compacta é
\frac{\partial f}{\partial v}(a,b)=\nabla f(a,b)\cdot v.
  • Observação importante: essa fórmula exige que v seja unitário. Se v não for unitário, primeiro normaliza-se v dividindo pelo seu módulo. Aqui o vetor dado já tem aparência unitária, mas vamos checar explicitamente no próximo passo.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais f_x e f_y.
  • A função interna é u(x,y)=5x-3y. Para derivar f(x,y)=\operatorname{sen}(u(x,y)) usa-se a regra da cadeia: derivada de \operatorname{sen}(u) é \cos(u)\cdot u'.
  • Portanto:
f_x(x,y)=\cos(5x-3y)\cdot\frac{\partial}{\partial x}(5x-3y)=\cos(5x-3y)\cdot 5,
f_y(x,y)=\cos(5x-3y)\cdot\frac{\partial}{\partial y}(5x-3y)=\cos(5x-3y)\cdot(-3).
  • Em notação mais curta:
f_x(x,y)=5\cos(5x-3y),\qquad f_y(x,y)=-3\cos(5x-3y).

Passo 4

Avaliar as parciais no ponto (3,5) e verificar que v é unitário.
  • Calcular o argumento (5x-3y) em (3,5):
5\cdot 3 - 3\cdot 5 = 15-15 = 0.
  • Logo \cos(5\cdot3-3\cdot5)=\cos(0)=1. Assim
f_x(3,5)=5\cdot 1 = 5,\qquad f_y(3,5)=-3\cdot 1 = -3.
  • Verificação do módulo de v:
\big\lVert v\big\rVert=\sqrt{\left(\dfrac{3}{5}\right)^2+\left(-\dfrac{4}{5}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{9}{25}+\dfrac{16}{25}}=\sqrt{\dfrac{25}{25}}=1.
Portanto v é unitário e podemos usar a fórmula do gradiente diretamente.

Passo 5

Calcular a derivada direcional como produto escalar.
  • O gradiente em (3,5) é \nabla f(3,5)=(5,\,-3).
  • O produto escalar com v é
\nabla f(3,5)\cdot v = 5\cdot\frac{3}{5}+(-3)\cdot\left(-\frac{4}{5}\right).
  • Calculando cada termo:
5\cdot\frac{3}{5}=3,\qquad (-3)\cdot\left(-\frac{4}{5}\right)=\frac{12}{5}.
  • Somando:
3+\frac{12}{5}=\frac{15}{5}+\frac{12}{5}=\frac{27}{5}.

Resposta

\dfrac{27}{5}

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