Ache a equação do plano tangente à superfície
f(x, y)=\left(x^{2} y\right)^{\frac{1}{3}} no ponto (8,1,4)

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente à superfície z=f(x,y) definida por
f(x,y)=\bigl(x^{2}y\bigr)^{\frac{1}{3}}
no ponto (x_{0},y_{0},z_{0})=(8,1,4).
Conteúdo: derivadas parciais e fórmula do plano tangente a uma superfície de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, confirmamos que o ponto dado realmente está na superfície, calculando
f(8,1)=\bigl(8^{2}\cdot1\bigr)^{\frac{1}{3}}=\bigl(64\bigr)^{\frac{1}{3}}=4,
logo (8,1,4) pertence à superfície.

Passo 3

Usamos a regra da cadeia para obter as derivadas parciais. Defina g(x,y)=x^{2}y, então f=g^{1/3}.
A derivada parcial em relação a x é
f_{x}=\frac{1}{3}g^{-\tfrac{2}{3}}\cdot\frac{\partial g}{\partial x} =\frac{1}{3}(x^{2}y)^{-\tfrac{2}{3}}\cdot(2xy) =\frac{2xy}{3\,(x^{2}y)^{\tfrac{2}{3}}}.
A derivada parcial em relação a y é
f_{y}=\frac{1}{3}g^{-\tfrac{2}{3}}\cdot\frac{\partial g}{\partial y} =\frac{1}{3}(x^{2}y)^{-\tfrac{2}{3}}\cdot x^{2} =\frac{x^{2}}{3\,(x^{2}y)^{\tfrac{2}{3}}}.

Passo 4

Agora avaliaremos essas derivadas em (x_{0},y_{0})=(8,1). Note que (x^{2}y)^{1/3}\bigl|_{(8,1)}=4 implica (x^{2}y)^{2/3}\bigl|_{(8,1)}=4^{2}=16.
Então
f_{x}(8,1)=\frac{2\cdot8\cdot1}{3\cdot16}=\frac{16}{48}=\frac{1}{3},
f_{y}(8,1)=\frac{8^{2}}{3\cdot16}=\frac{64}{48}=\frac{4}{3}.

Passo 5

A fórmula do plano tangente é
z-z_{0}=f_{x}(x_{0},y_{0})\,(x-x_{0})+f_{y}(x_{0},y_{0})\,(y-y_{0}).
Substituindo z_{0}=4, x_{0}=8, y_{0}=1, f_{x}(8,1)=\tfrac{1}{3}, f_{y}(8,1)=\tfrac{4}{3}, obtemos
z-4=\frac{1}{3}(x-8)+\frac{4}{3}(y-1).
Multiplicando tudo por 3 e reorganizando, dá
3z-12 = x-8 +4y-4 \quad\Longrightarrow\quad x+4y-3z=0.

Resposta

A equação do plano tangente é
x+4y-3z=0.

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