Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis em (0,0)
f(x, y)=\left{ \begin{array}{cc} \frac{x y^{3}}{x^{2}+y^{4}} & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\ 0 & \text { se }(x, y)=(0,0) \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x\,y^{3}}{x^{2}+y^{4}},& (x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0,&(x,y)=(0,0) \end{cases}
é diferenciável em (0,0). O conteúdo que vamos usar é: (i) cálculo das derivadas parciais em (0,0) e (ii) definição de diferenciabilidade em \R^2, que exige
f(x,y)-f(0,0)-\bigl(\partial_xf(0,0)\,x+\partial_yf(0,0)\,y\bigr)=o\bigl(\sqrt{x^2+y^2}\bigr).]

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais em (0,0) pela definição:
\partial_xf(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{0-0}{h}=0,
pois f(h,0)=\dfrac{h\cdot0^3}{h^2+0}=0.
Analogamente,
\partial_yf(0,0)=\lim_{k\to0}\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k} =\lim_{k\to0}\frac{0-0}{k}=0,
já que f(0,k)=0.

Passo 3

Se f fosse diferenciável em (0,0), o mapa linear aproximante seria
L(x,y)=\partial_xf(0,0)\,x+\partial_yf(0,0)\,y=0.
A condição de diferenciabilidade exige
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)-0}{\sqrt{x^2+y^2}}=0.

Passo 4

Para testar essa condição, escolhemos a curva x=y^2. Nesse caso, para y\neq0,
f(y^2,y)=\frac{y^2\cdot y^3}{(y^2)^2+y^4} =\frac{y^5}{y^4+y^4} =\frac{y^5}{2y^4} =\frac{y}{2}.
Além disso,
\sqrt{(y^2)^2+y^2} =\sqrt{y^4+y^2} =|y|\sqrt{1+y^2}.
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\frac{f(y^2,y)}{\sqrt{(y^2)^2+y^2}} =\frac{\bigl|y\bigr|/2}{\bigl|y\bigr|\sqrt{1+y^2}} =\frac{1}{2\sqrt{1+y^2}} \;\xrightarrow[y\to0]{}\;\frac12\neq0.
Isso mostra que
\frac{f(x,y)-L(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}}
não tende a zero quando (x,y)\to(0,0), violando a definição de diferenciabilidade.

Resposta

A função f não é diferenciável em (0,0).

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