Use as propriedades de limites para calcular
nos seguintes casos:
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite de uma função de três variáveis quando o ponto $ p = (x, y, z) $ se aproxima de $ p_0 = (1, 0, 2) $. A função dada é:
Vamos usar as propriedades de limites, que nos permitem calcular o limite de funções compostas a partir dos limites das suas partes individuais, especialmente quando as funções envolvidas são contínuas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que para calcular:
Estamos basicamente querendo saber o valor que $ f(x, y, z) $ se aproxima quando $ (x, y, z) $ chega cada vez mais perto de $ (1, 0, 2) $. Se a função for contínua nesse ponto, o limite é simplesmente o valor da função nesse ponto.
Passo 3
Vamos verificar se a função $ f(x, y, z) $ é contínua no ponto $ p_0 = (1, 0, 2) $. As funções exponenciais e polinomiais são contínuas em todo lugar do seu domínio. Como $ f $ é uma combinação dessas funções, ela também é contínua em $ p_0 $.
Passo 4
Como a função é contínua em $ p_0 $, podemos calcular o limite apenas substituindo $ x = 1 $, $ y = 0 $ e $ z = 2 $ na função:
Passo 5
Vamos calcular cada termo separadamente:
- $ e{1{2} - 0^{2} \cdot 2} = e^{1 - 0} = e^{1} = e $
- $ 1^{2} \cdot 0^{3} = 1 \cdot 0 = 0 $
- $ -1^{3} \cdot 0^{2} = -1 \cdot 0 = 0 $
- $ 3 \cdot 1 \cdot 2 = 6 $
Passo 6
Agora, somando todos os termos calculados:
Resposta
O limite é $ e + 6 $.