Use as propriedades de limites para calcular
lim p p0 f(p)
nos seguintes casos:
p=(x, y, z), p0=(1,0,2) e f(x, y, z)=e^x^2-y^2 z+x^2 y^3-x^3 y^2+3 x z

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite de uma função de três variáveis quando o ponto $ p = (x, y, z) $ se aproxima de $ p_0 = (1, 0, 2) $. A função dada é:
p = (x, y, z)
Vamos usar as propriedades de limites, que nos permitem calcular o limite de funções compostas a partir dos limites das suas partes individuais, especialmente quando as funções envolvidas são contínuas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que para calcular:
lim p p0 f(p)
Estamos basicamente querendo saber o valor que $ f(x, y, z) $ se aproxima quando $ (x, y, z) $ chega cada vez mais perto de $ (1, 0, 2) $. Se a função for contínua nesse ponto, o limite é simplesmente o valor da função nesse ponto.

Passo 3

Vamos verificar se a função $ f(x, y, z) $ é contínua no ponto $ p_0 = (1, 0, 2) $. As funções exponenciais e polinomiais são contínuas em todo lugar do seu domínio. Como $ f $ é uma combinação dessas funções, ela também é contínua em $ p_0 $.

Passo 4

Como a função é contínua em $ p_0 $, podemos calcular o limite apenas substituindo $ x = 1 $, $ y = 0 $ e $ z = 2 $ na função:
p0

Passo 5

Vamos calcular cada termo separadamente:
  1. $ e{1{2} - 0^{2} \cdot 2} = e^{1 - 0} = e^{1} = e $
  2. $ 1^{2} \cdot 0^{3} = 1 \cdot 0 = 0 $
  3. $ -1^{3} \cdot 0^{2} = -1 \cdot 0 = 0 $
  4. $ 3 \cdot 1 \cdot 2 = 6 $

Passo 6

Agora, somando todos os termos calculados:
f(1, 0, 2) = e + 0 + 0 + 6 = e + 6

Resposta

O limite é $ e + 6 $.

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