Encontre a derivada direcional de f no ponto P, na direção e sentido do vetor \vec{u}. Caso \vec{u} não seja unitário, considere seu versor \vec{v}=\frac{\vec{u}}{\|\vec{u}\|} :
f(x, y)=\ln \left(1+x^{2}+y\right), P=(0,0), \vec{u}=-\frac{1}{\sqrt{10}} \vec{i}-\frac{3}{\sqrt{10}} \vec{j}

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de
f(x,y)=\ln\bigl(1+x^2+y\bigr)
no ponto P=(0,0) na direção do vetor \vec u=-\tfrac{1}{\sqrt{10}}\vec i-\tfrac{3}{\sqrt{10}}\vec j.
Para isso, vamos usar que, se \vec v é o versor de \vec u, então
D_{\vec v}f(P)=\nabla f(P)\cdot\vec v.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) =\frac{2x}{1+x^2+y}, \quad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) =\frac{1}{1+x^2+y}.
Logo
\nabla f(x,y) =\Bigl(\frac{2x}{1+x^2+y},\,\frac{1}{1+x^2+y}\Bigr).

Passo 3

Em P=(0,0) temos
\nabla f(0,0) =\Bigl(\frac{2\cdot0}{1+0+0},\,\frac{1}{1+0+0}\Bigr) =(0,1).

Passo 4

O vetor dado é
\vec u =-\frac{1}{\sqrt{10}}\vec i -\frac{3}{\sqrt{10}}\vec j,
e sua norma é
\|\vec u\| =\sqrt{\frac{1}{10}+\frac{9}{10}} =1,
logo \vec u já é um versor, isto é, \vec v=\vec u.

Passo 5

Aplicando a definição da derivada direcional:
D_{\vec v}f(0,0) =\nabla f(0,0)\cdot\vec v =(0,1)\cdot\Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{10}},-\tfrac{3}{\sqrt{10}}\Bigr) =-\frac{3}{\sqrt{10}}.

Resposta

-\frac{3}{\sqrt{10}}

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