Ache a derivadas parciais indicadas usando a regra da cadeia
V=\pi r^{2} h, r=s t, h=s^{2} e^{t}, \frac{\partial V}{\partial s} ; \frac{\partial V}{\partial t}

Passo 1

O enunciado dá a função
V = \pi r^{2} h
onde r e h dependem de s e t segundo
r = s\,t, \quad h = s^{2} e^{t}.
Queremos as derivadas parciais \partial V/\partial s e \partial V/\partial t aplicando a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, tratamos V como função de (r,h) e calculamos
\frac{\partial V}{\partial r} = 2\pi\,r\,h, \quad \frac{\partial V}{\partial h} = \pi\,r^{2}.

Passo 3

Agora calculamos \partial V/\partial s. Primeiro achamos
\frac{\partial r}{\partial s} = t, \quad \frac{\partial h}{\partial s} = 2s\,e^{t}.
Pela regra da cadeia,
\frac{\partial V}{\partial s} = \frac{\partial V}{\partial r}\,\frac{\partial r}{\partial s} + \frac{\partial V}{\partial h}\,\frac{\partial h}{\partial s}.
Substituindo e simplificando com r=s\,t e h=s^{2}e^{t}, obtém-se
\frac{\partial V}{\partial s} = 2\pi\,r\,h\;t \;+\;\pi\,r^{2}\;(2s\,e^{t}) = 2\pi\,(s\,t)\,(s^{2}e^{t})\,t \;+\;2\pi\,(s\,t)^{2}\,s\,e^{t} =4\pi\,s^{3}t^{2}e^{t}.

Passo 4

Para \partial V/\partial t calculamos
\frac{\partial r}{\partial t}=s, \quad \frac{\partial h}{\partial t}=s^{2}e^{t},
e pela cadeia
\frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial V}{\partial r}\,\frac{\partial r}{\partial t} + \frac{\partial V}{\partial h}\,\frac{\partial h}{\partial t}.
Substituindo r e h e simplificando, vem
\frac{\partial V}{\partial t} =2\pi\,(s\,t)\,(s^{2}e^{t})\,s \;+\;\pi\,(s\,t)^{2}\,(s^{2}e^{t}) =2\pi\,s^{4}t\,e^{t} \;+\;\pi\,s^{4}t^{2}e^{t} =\pi\,s^{4}e^{t}\,t\,(2+t).

Resposta

\displaystyle \frac{\partial V}{\partial s}=4\pi\,s^{3}t^{2}e^{t},\quad \frac{\partial V}{\partial t}=\pi\,s^{4}e^{t}\,t\,(2+t).

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