Encontre a derivada direcional da respectiva função, no ponto e na direção do vetor indicados. (Lembrando que, para inserir as coordenadas do vetor na fórmula da derivada direcional, o vetor tem que ser unitário. Então, se necessário, normalize ele)
g(x, y)=e^3 x-4 y, no ponto (0,3), para o vetor v=(3,-3).

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional da função
g(x,y)=e^3x-4y
no ponto (0,3) na direção do vetor vec v=(3,-3).
O conteúdo envolve cálculo de derivadas parciais, gradiente e a fórmula da derivada direcional que exige normalizar o vetor direção.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de g:
partial gpartial x(x,y)=3e^3x,
partial gpartial y(x,y)=-4

Passo 3

Agora avaliamos essas derivadas no ponto (0,3):
partial gpartial x(0,3)=3e^0=3,
partial gpartial y(0,3)=-4
Logo o gradiente é
nabla g(0,3) = (3,,-4)

Passo 4

Normalizamos o vetor vec v=(3,-3). Primeiro o módulo:
|vec v| = raiz3^2+(-3)^2 = raiz18 = 3raiz2
O vetor unitário é
vec u = vec v|vec v| = l(33raiz2,,-33raiz2r) = l(1raiz2,,-1raiz2r)

Passo 5

A derivada direcional de g em (0,3) na direção de vec u é
Dvec ug(0,3) = nabla g(0,3)cdot vec u = 3cdot1raiz2 + (-4)cdotl(-1raiz2r) = 3+4raiz2 = 7raiz2

Resposta

7raiz2

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