Considere o sistema linear e invariante no tempo cuja relação entrada-saída é descrita por
y(t)=Gx(t)=integral-infty^t x(beta) d beta
(a) Determine a resposta ao impulso h(t) do sistema.
(b) O sistema é causal? O sistema é BIBO -estável?
(c) Determine (analiticamente ou por esboço) a saída do sistema à entrada x(t)=u(t).

Passo 1

O enunciado define um sistema LTI invariável no tempo pela relação
y(t)=Gx(t)=integral-infty^tx(beta),dbeta
e pede:
(a) a resposta ao impulso h(t),
(b) se o sistema é causal e BIBO-estável,
(c) a saída para a entrada x(t)=u(t).
Vamos usar teoria de sistemas LTI: convolução, definição de impulso, condições de causalidade e estabilidade BIBO, e cálculo de resposta ao degrau.

Passo 2

Em sistemas LTI temos
y(t)=integral-infty^inftyx(tau),h(t-tau),dtau
Queremos igualar isso a
integral-infty^tx(beta),dbeta
Note que a integração vale só quando t-tau>=0. Logo a função que “liga” a partir de zero é o degrau unitário, de modo que
h(t)=u(t)

Passo 3

Causalidade e estabilidade BIBO:
  • Um sistema LTI é causal se e só se h(t)=0 para todo t<0. Como h(t)=u(t) satisfaz isso, o sistema é causal.
  • É BIBO-estável se
integral-infty^inftyl|h(t)r|,dt<infty
Mas
integral-infty^inftyu(t),dt =integral0^infty1,dt =infty,
logo o sistema não é BIBO-estável.

Passo 4

Para x(t)=u(t) calculamos
y(t)=integral-infty^tu(beta),dbeta =integral0^t1,dbeta = 0,&t<0, t,&t>=0
Isso pode ser escrito como
y(t)=t,u(t)

Resposta

(a) h(t)=u(t).
(b) O sistema é causal e não é BIBO-estável.
(c) y(t)=t,u(t).

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