Encontre a derivada direcional da respectiva função, no ponto e na direção do vetor indicados. (Lembrando que, para inserir as coordenadas do vetor na fórmula da derivada direcional, o vetor tem que ser unitário. Então, se necessário, normalize ele)
h(x, y)=cos xy^3, no ponto (pi2, 2), para o vetor v=(-1,0).

Passo 1

O enunciado nos dá a função
h(x,y)=cos xy^3
e pede a derivada direcional de h no ponto l(tfracpi2,2r) na direção do vetor vec v=(-1,0).
Para isso vamos usar a fórmula
Dvec vh(p)=nabla h(p)cdot vec u,
onde vec u é o vetor unitário na direção de vec v e nabla h é o gradiente de h.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de h:
partial hpartial x(x,y) =-sin xy^3, partial hpartial y(x,y) =-3cos xy^4

Passo 3

Verificamos se vec v=(-1,0) é unitário.
|vec v|=raiz(-1)^2+0^2=1,
Logo vec u=vec v.

Passo 4

Avaliamos o gradiente em l(tfracpi2,2r). Como sin(tfracpi2)=1 e cos(tfracpi2)=0,
partial hpartial x|(pi2,2) =-12^3 =-18, partial hpartial y|(pi2,2) =0
Portanto
nabla h!l(tfracpi2,2r) =l(-tfrac18,,0r)

Passo 5

Aplicando a fórmula da derivada direcional:
Dvec vh =nabla hl(tfracpi2,2r)cdot(-1,0) =l(-tfrac18,0r)cdot(-1,0) =18

Resposta

18

Exercícios relacionados