Encontre a derivada direcional da respectiva função, no ponto e na direção do vetor indicados. (Lembrando que, para inserir as coordenadas do vetor na fórmula da derivada direcional, o vetor tem que ser unitário. Então, se necessário, normalize ele)
f(x, y)=x^2 y^4, no ponto (6,-5), para o vetor v=(-45, raiz345).

Passo 1

Estamos buscando a derivada direcional de
f(x,y)=x^2y^4
no ponto P=(6,-5) na direção do vetor
vec v=l(-tfrac45,tfracraiz345r).
Para isso, lembramos que a derivada direcional em direção a um vetor unitário vec u é
Dvec uf(P)=nabla f(P)cdotvec u
Logo precisamos (i) calcular nabla f, (ii) avaliar em P, (iii) normalizar vec v para obter vec u, e (iv) fazer o produto escalar.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de f:
partial fpartial x=2x,y^4, partial fpartial y=4x^2,y^3

Passo 3

Avalie o gradiente em P=(6,-5):
partial fpartial x(6,-5) =2cdot6cdot(-5)^4 =12cdot625 =7500,
partial fpartial y(6,-5) =4cdot6^2cdot(-5)^3 =4cdot36cdot(-125) =-18000
Portanto
nabla f(6,-5)=(7500,,-18000)

Passo 4

Verifiquemos o módulo de vec v:
|vec v| =raizl(-tfrac45r)^2+l(tfracraiz345r)^2 =raiz1625+3425 =raiz2
Logo o vetor unitário é
vec u=vec v|vec v| =l(-4/5raiz2,;raiz34/5raiz2r)

Passo 5

Agora calculemos
Dvec uf(6,-5) =nabla f(6,-5)cdotvec u =l(7500,,-18000r)cdot l(-4/5raiz2,;raiz34/5raiz2r)
No numerador vem
7500cdotl(-tfrac45r)+(-18000)cdotl(tfracraiz345r) =-6000-3600raiz34,
e dividimos por raiz2, obtendo
Dvec uf(6,-5) =,-6000+3600raiz34raiz2 =-3000raiz2-3600raiz17

Resposta

Dvec vf(6,-5) =-3000raiz2-3600raiz17

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