Encontre a derivada direcional da respectiva função, no ponto e na direção do vetor indicados. (Lembrando que, para inserir as coordenadas do vetor na fórmula da derivada direcional, o vetor tem que ser unitário. Então, se necessário, normalize ele)
i(x, y, z)=y ln (z^2 x), no ponto (1,4, e), para o vetor v=(0, 1213,-513).

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional da função
i(x,y,z)=ylnl(z^2xr)
no ponto (1,4,e) na direção do vetor unitário
vec v=l(0,tfrac1213,-tfrac513r).
Para isso vamos calcular o gradiente nabla i e depois fazer o produto escalar nabla i(1,4,e)cdotvec v. Note que vec v já tem norma 1, pois
raiz0^2+l(tfrac1213r)^2+l(-tfrac513r)^2 =raiztfrac144+25169=1

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de i. Usando regra da cadeia:
partial ipartial x = ycdot1z^2xcdot z^2 =yx, partial ipartial y =lnl(z^2xr), partial ipartial z = ycdot1z^2xcdot 2zx =2yz
Portanto,
nabla i(x,y,z) =l(tfracyx,;ln(z^2x),;tfrac2yzr)

Passo 3

Avaliar o gradiente em (1,4,e):
nabla i(1,4,e) =l(tfrac41,;ln(e^2cdot1),;tfrac2cdot4er) =(4,;2,;tfrac8e)

Passo 4

Fazer o produto escalar com vec v:
Dvec vi(1,4,e) =nabla i(1,4,e)cdotvec v =4cdot0+2cdottfrac1213+tfrac8ecdotl(-tfrac513r) =2413-4013e

Resposta

2413-4013e

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