Encontre a derivada e enuncie a fórmula de integração correspondente.
\frac{d}{d x}[\operatorname{sen}(2 \sqrt{x})]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de \sin(2\sqrt{x}) usando a regra da cadeia e, em seguida, enunciar a fórmula de integração correspondente, ou seja, a primitiva do integrando que obtivemos.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x) = 2\sqrt{x} = 2x^{1/2}.
Pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}[\sin(u(x))] = \cos(u(x))\,u'(x).

Passo 3

Calculamos u'(x). Como
u(x)=2x^{1/2},
temos
u'(x)=2\cdot\frac{1}{2}x^{-1/2}=x^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{x}}.
Logo, a derivada é
\frac{d}{dx}[\sin(2\sqrt{x})] = \cos(2\sqrt{x})\;\frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{\cos(2\sqrt{x})}{\sqrt{x}}.

Passo 4

Para achar a primitiva de \frac{\cos(2\sqrt{x})}{\sqrt{x}}, fazemos a mesma substituição u=2\sqrt{x}, em que du = \frac{dx}{\sqrt{x}}. Então
\int \frac{\cos(2\sqrt{x})}{\sqrt{x}}\,dx = \int \cos(u)\,du = \sin(u) + C = \sin(2\sqrt{x}) + C.

Resposta

\displaystyle \frac{d}{dx}[\sin(2\sqrt{x})] = \frac{\cos(2\sqrt{x})}{\sqrt{x}}, \int \frac{\cos(2\sqrt{x})}{\sqrt{x}}\,dx = \sin(2\sqrt{x}) + C.

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