Questão 2: Uma antena emite ondas eletromagnéticas cuja amplitude do campo elétrico E, em determinado ponto do espaço, pode ser modelada como uma variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo (2,4) volts por metro. A intensidade média irradiada dessa onda eletromagnética é dada por:
I=\frac{1}{2} \varepsilon_{0} c E^{2}
onde \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo e c é a velocidade da luz no vácuo. Denotando \alpha=\frac{1}{2} \varepsilon_{0} c, tem-se que I=\alpha E^{2}.
Determine a função densidade de probabilidade da intensidade irradiada I.
Calcule o valor esperado da intensidade \mathbb{E}[I].
Passo 1
O enunciado diz que a amplitude do campo elétrico E é uma v.a. uniforme em (2,4) e que a intensidade irradiada é
I = \alpha E^2,
com \alpha = \tfrac12\varepsilon_0 c. Precisamos (1) achar a função densidade de I e (2) calcular \mathbb{E}[I]. Vamos usar a técnica de mudança de variável para variáveis contínuas e a fórmula de valor esperado.
Passo 2
Identificamos que E varia em (2,4) e que a transformação
i = g(e) = \alpha e^2
é estritamente crescente para e>0. Invertendo, obtemos
e = g^{-1}(i) = \sqrt{\frac{i}{\alpha}}.
O suporte de I vai de i_{\min} = \alpha\cdot 2^2 = 4\alpha até i_{\max} = \alpha\cdot 4^2 = 16\alpha.