Encontre a derivada de f(x)=e^{1 / x}.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=e^{1/x},
um exercício que envolve a regra da cadeia para funções compostas: primeiro identificamos a função externa (a exponencial) e depois a interna 1/x. Vamos usar a teoria de derivadas de e^u e de 1/x.

Passo 2

Definimos a função interna
g(x)=\frac{1}{x}
e a função externa
h(u)=e^u,
de modo que f(x)=h\bigl(g(x)\bigr).

Passo 3

Calculamos a derivada da função interna usando a regra de potência para expoente -1:
g(x)=x^{-1}\quad\Longrightarrow\quad g'(x)=-1\cdot x^{-2}=-\frac{1}{x^2}.

Passo 4

Aplicamos a regra da cadeia, que diz
f'(x)=h'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x).
Como h'(u)=e^u, temos
h'\bigl(g(x)\bigr)=e^{\,g(x)}=e^{1/x}.
Portanto,
f'(x)=e^{1/x}\cdot\Bigl(-\frac{1}{x^2}\Bigr)=-\frac{1}{x^2}\,e^{1/x}.

Resposta

f'(x)=-\frac{1}{x^2}\,e^{1/x}.

Exercícios relacionados