Encontre a derivada.
(a) F(x)=integral0^1 / x sen^4 t d t

Passo 1

O exercício define a função
F(x)=integral0^1/xsin^4t,dt
Queremos encontrar F'(x). O conteúdo envolve o teorema fundamental do cálculo (derivada de integral com limite variável) e regra da cadeia.

Passo 2

Pelo teorema fundamental do cálculo, se G(x)=integrala^u(x)f(t),dt, então
G'(x)=fl(u(x)r)cdot u'(x)
Aqui temos f(t)=sin^4t e u(x)=1/x. Assim,
F'(x)=sin^4l(1/xr)cdotddxl(1/xr)

Passo 3

Para calcular ddx(1/x), escrevemos 1/x=x^-1. Derivando,
ddxl(x^-1r)=-1cdot x^-2=-1x^2

Passo 4

Substituindo de volta em F'(x), obtemos
F'(x)=sin^4l(1/xr)cdotl(-1x^2r) =-sin^4l(1/xr)x^2

Resposta

F’(x)= -\frac{\sin{4}\bigl(1/x\bigr)}{x{2}}

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