Encontre a derivada.
© F(x)=integraltan x^x^2 1raiz1+t^4 d t

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
F(x)=∫_{tan x}{x2} 1/√(1+t^4)
dt, ou seja, a gente vai usar o Teorema Fundamental do Cálculo pra integrais com limites variáveis. Aqui f(t)=1/√(1+t^4), o limite inferior é a(x)=tan x e o superior é b(x)=x^2.

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo junto com a Regra da Cadeia, se
F(x)=∫_{a(x)}^{b(x)} f(t) dt
então temos

Passo 3

F'(x)=fl(b(x)r),b'(x)-fl(a(x)r),a'(x)

Passo 4

Agora a gente calcula as derivadas dos limites:
  • b(x)=x^2 ⇒ b’(x)=2x
  • a(x)=tan x ⇒ a’(x)=sec^2 x

Passo 5

Depois a gente avalia f(t)=1/√(1+t^4) nesses pontos:
  • f(b(x))=1/√(1+(x2)4)=1/√(1+x^8)
  • f(a(x))=1/√(1+tan^4 x)

Passo 6

Só resta substituir tudo na fórmula de F’(x):
F’(x)=1/√(1+x^8)·(2x) - 1/√(1+tan^4 x)·(sec^2 x)

Resposta

F’(x)=\frac{2x}{\sqrt{1+x8}}-\frac{\sec2 x}{\sqrt{1+\tan^4 x}}

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