Encontre a derivada.
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Passo 1
O enunciado pede a derivada de
F(x)=∫_{tan x}{x2} 1/√(1+t^4)
dt, ou seja, a gente vai usar o Teorema Fundamental do Cálculo pra integrais com limites variáveis. Aqui f(t)=1/√(1+t^4), o limite inferior é a(x)=tan x e o superior é b(x)=x^2.
F(x)=∫_{tan x}{x2} 1/√(1+t^4)
dt, ou seja, a gente vai usar o Teorema Fundamental do Cálculo pra integrais com limites variáveis. Aqui f(t)=1/√(1+t^4), o limite inferior é a(x)=tan x e o superior é b(x)=x^2.
Passo 2
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo junto com a Regra da Cadeia, se
F(x)=∫_{a(x)}^{b(x)} f(t) dt
então temos
F(x)=∫_{a(x)}^{b(x)} f(t) dt
então temos
Passo 3
Passo 4
Agora a gente calcula as derivadas dos limites:
- b(x)=x^2 ⇒ b’(x)=2x
- a(x)=tan x ⇒ a’(x)=sec^2 x
Passo 5
Depois a gente avalia f(t)=1/√(1+t^4) nesses pontos:
- f(b(x))=1/√(1+(x2)4)=1/√(1+x^8)
- f(a(x))=1/√(1+tan^4 x)
Passo 6
Só resta substituir tudo na fórmula de F’(x):
F’(x)=1/√(1+x^8)·(2x) - 1/√(1+tan^4 x)·(sec^2 x)
F’(x)=1/√(1+x^8)·(2x) - 1/√(1+tan^4 x)·(sec^2 x)
Resposta
F’(x)=\frac{2x}{\sqrt{1+x8}}-\frac{\sec2 x}{\sqrt{1+\tan^4 x}}