Determine uma função de x que torne a EDO
(2 x y+3) d x+<=ft(x^2-1ight) d y=0
uma equação exata. Em seguida, determine a solução da EDO.

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO (2xy+3),dx + (x^2-1),dy=0. O conteúdo é equações exatas e fator integrante mu(x). Vamos precisar verificar se já é exata ou achar mu(x).

Passo 2

Calculo as parciais: M(x,y)=2xy+3 e N(x,y)=x^2-1. Então
partial Mpartial y=2x, partial Npartial x=2x
Como são iguais, a EDO já é exata e o fator integrante depende de x é dado por
mu(x)=e^integral 0,dx=1

Passo 3

Agora que a EDO é exata, existe uma função potencial Phi(x,y) tal que
partial Phipartial x=M=2xy+3
Integro em relação a x:
Phi(x,y)=integral(2xy+3),dx = x^2y + 3x + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Para achar h(y), uso
partial Phipartial y=x^2 + h'(y)
e imponho que isto seja igual a N(x,y)=x^2-1. Logo
x^2 + h'(y)=x^2-1 implies h'(y)=-1 implies h(y)=-y

Passo 5

Substituindo em Phi, a solução geral fica
Phi(x,y)=x^2y +3x -y = C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

Fator integrante mu(x)=1 e solução geral
x^2y +3x -y = C

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