Encontre a solução do seguinte problema de valor inicial:
y^prime(t)-2 y(t)=6 com y(0)=3

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial da equação diferencial de primeira ordem linear y'(t)-2y(t)=6 com a condição y(0)=3. O conteúdo é EDO linear e vamos precisar usar o fator integrante para encontrar a solução geral e depois aplicar a condição inicial.

Passo 2

Para usar o método do fator integrante, primeiro colocamos no formato padrão y'+p(t)y=q(t). Aqui temos p(t)=-2 e q(t)=6. O fator integrante é dado por mu(t)=e^integral p(t),dt=e^integral -2,dt.

Passo 3

Calculando o fator integrante obtemos:
mu(t)=e^-2t
Multiplicamos toda a equação original por e^-2t:
e^-2ty'(t)-2e^-2ty(t)=6e^-2t
Isso faz com que o lado esquerdo seja a derivada de e^-2ty(t).

Passo 4

Escrevendo como derivada de produto temos:
ddtl(e^-2ty(t)r)=6e^-2t
Agora integramos ambos os lados em relação a t:
e^-2ty(t)=integral 6e^-2t,dt = -3e^-2t+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Isolamos y(t) multiplicando por e^2t:
y(t)=-3 + Ce^2t
Esta é a solução geral da EDO.

Passo 6

Para determinar C, usamos a condição inicial y(0)=3:
y(0)=-3 + Ce^0 = -3 + C = 3 implies C=6

Resposta

A solução do problema de valor inicial é y(t)=6e^2t-3.

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