Encontre a derivada:
Passo 1
O enunciado pede a derivada de uma função definida por uma integral com limites dependentes de x:
F(x)=
Esse tipo de problema envolve o Teorema Fundamental do Cálculo junto com a Regra da Cadeia.
F(x)=
Esse tipo de problema envolve o Teorema Fundamental do Cálculo junto com a Regra da Cadeia.
Passo 2
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo com limites que dependem de x, se
então
Aqui temos f(t)=1/\sqrt{1+t^4}, b(x)=x^2 e a(x)=\tan x.
Passo 3
Calculamos as derivadas dos limites:
- b’(x)=d(x^2)/dx=2x
- a’(x)=d(\tan x)/dx=\sec^2 x
Agora aplicamos a fórmula: F’(x)=f(x^2)·2x − f(\tan x)·\sec^2 x.
Passo 4
Substituindo f(t)=1/\sqrt{1+t^4} em cada termo obtemos:
- f(x2)=1/\sqrt{1+(x2)4}=1/\sqrt{1+x8}
- f(\tan x)=1/\sqrt{1+\tan^4 x}
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Resposta
F’(x)=\frac{2x}{\sqrt{1+x^8}}; -;\frac{\sec^2 x}{\sqrt{1+\tan^4 x}}