Encontre a derivada: F(x)=integraltan x^x^2 1raiz1+t^4 d t

Passo 1

O enunciado pede a derivada de uma função definida por uma integral com limites dependentes de x:
F(x)= integraltan x^x^2 1raiz1+t^4,dt
Esse tipo de problema envolve o Teorema Fundamental do Cálculo junto com a Regra da Cadeia.

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo com limites que dependem de x, se
G(x)=integrala(x)^b(x) f(t),dt
então
G'(x)=fl(b(x)r),b'(x)-fl(a(x)r),a'(x)
Aqui temos f(t)=1/\sqrt{1+t^4}, b(x)=x^2 e a(x)=\tan x.

Passo 3

Calculamos as derivadas dos limites:
  • b’(x)=d(x^2)/dx=2x
  • a’(x)=d(\tan x)/dx=\sec^2 x
    Agora aplicamos a fórmula: F’(x)=f(x^2)·2x − f(\tan x)·\sec^2 x.

Passo 4

Substituindo f(t)=1/\sqrt{1+t^4} em cada termo obtemos:
  • f(x2)=1/\sqrt{1+(x2)4}=1/\sqrt{1+x8}
  • f(\tan x)=1/\sqrt{1+\tan^4 x}
    Logo:

Resposta

F’(x)=\frac{2x}{\sqrt{1+x^8}}; -;\frac{\sec^2 x}{\sqrt{1+\tan^4 x}}

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