Encontre as soluções fundamentais e a solução geral das seguintes EDOs lineares de 2^a ordem
y^prime prime(t)+4 y^prime(t)+4 y(t)=0

Passo 1

O enunciado pede que a gente resolva a EDO linear de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes
A equação é
y''(t) + 4y'(t) + 4y(t) = 0
e o conteúdo que vamos usar é o método da equação característica.

Passo 2

A gente supõe uma solução do tipo
y(t)=e^rt
para transformar a EDO numa equação algébrica em r. Substituindo na equação dada, temos:
r^2e^rt + 4re^rt + 4e^rt = 0
Como e^rt nunca é zero, isso leva à equação característica:

Passo 3

Resolvendo a equação característica
r^2 + 4r + 4 = 0
a gente calcula o discriminante:
De
Como De, a equação tem raiz real dupla.

Passo 4

Para raiz dupla r = -2, as duas soluções fundamentais são
y1(t) = e^-2t,
y2(t) = t,e^-2t
Isso vem da teoria de EDOs: quando a raiz r se repete, multiplica-se por t para obter a segunda solução.

Passo 5

A solução geral da EDO é combinação linear dessas duas soluções fundamentais. Logo:

Resposta

y(t) = C1 e^-2t + C2 t e^-2t

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