Encontre as soluções fundamentais e a solução geral das seguintes EDOs lineares de
ordem
Passo 1
O enunciado pede que a gente resolva a EDO linear de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes
A equação é
e o conteúdo que vamos usar é o método da equação característica.
Passo 2
A gente supõe uma solução do tipo
para transformar a EDO numa equação algébrica em
. Substituindo na equação dada, temos:
Como
nunca é zero, isso leva à equação característica:
Passo 3
Resolvendo a equação característica
a gente calcula o discriminante:
Como
, a equação tem raiz real dupla.
Passo 4
Para raiz dupla
, as duas soluções fundamentais são
Isso vem da teoria de EDOs: quando a raiz
se repete, multiplica-se por
para obter a segunda solução.
Passo 5
A solução geral da EDO é combinação linear dessas duas soluções fundamentais. Logo: