Encontre a derivada.
(e) F(x)=integraltan x^x^2 1raiz1+t^4 d t

Passo 1

Temos a função definida por uma integral com limites que dependem de x:
F(x)=\int_{\tan x}{x{2}} \frac{1}{\sqrt{1+t^{4}}},dt. O conteúdo aqui é o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais com limites variáveis e a regra da cadeia.

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da cadeia, se G(x)=\int_{a(x)}^{b(x)}f(t),dt, então
G'(x)=fl(b(x)r),b'(x)-fl(a(x)r),a'(x)

Passo 3

No nosso caso temos f(t)=1/\sqrt{1+t^{4}}, a(x)=\tan x e b(x)=x^{2}. Calculando as derivadas dos limites:
a'(x)=ddx(tan x)=sec^2x,
b'(x)=ddx(x^2)=2x

Passo 4

Aplicando a fórmula geral obtemos
$$F’(x)=f\bigl(x^{2}\bigr)\cdot2x - f\bigl(\tan x\bigr)\cdot\sec^{2}x.
F'(x)=fl(x^2r)cdot2x - fl(tan xr)cdotsec^2x F’(x)=\frac{2x}{\sqrt{1+(x{2}){4}}}-\frac{\sec^{2}x}{\sqrt{1+(\tan x)^{4}}}$$
e simplificando (x{2}){4}=x^{8} e (\tan x){4}=\tan{4}x.

Passo 5

Esse é o resultado final para a derivada da função dada.

Resposta

F’(x)=\frac{2x}{\sqrt{1+x{8}}}-\frac{\sec{2}x}{\sqrt{1+\tan^{4}x}}

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