Encontre a derivada.
(e)
(e)
Passo 1
Temos a função definida por uma integral com limites que dependem de x:
F(x)=\int_{\tan x}{x{2}} \frac{1}{\sqrt{1+t^{4}}},dt. O conteúdo aqui é o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais com limites variáveis e a regra da cadeia.
F(x)=\int_{\tan x}{x{2}} \frac{1}{\sqrt{1+t^{4}}},dt. O conteúdo aqui é o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais com limites variáveis e a regra da cadeia.
Passo 2
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da cadeia, se G(x)=\int_{a(x)}^{b(x)}f(t),dt, então
Passo 3
No nosso caso temos f(t)=1/\sqrt{1+t^{4}}, a(x)=\tan x e b(x)=x^{2}. Calculando as derivadas dos limites:
Passo 4
Aplicando a fórmula geral obtemos
$$F’(x)=f\bigl(x^{2}\bigr)\cdot2x - f\bigl(\tan x\bigr)\cdot\sec^{2}x.
e simplificando (x{2}){4}=x^{8} e (\tan x){4}=\tan{4}x.
Passo 5
Esse é o resultado final para a derivada da função dada.
Resposta
F’(x)=\frac{2x}{\sqrt{1+x{8}}}-\frac{\sec{2}x}{\sqrt{1+\tan^{4}x}}