Construa uma tabela para determinar o valor de e^x para xk=k / 5, k=0,1, ldots, 5 e determine o valor aproximado de e^0,23 usando o polinômio interpolador, fórmula de Newton.

Passo 1

O enunciado pede para interpolar a função f(x)=e^x nos pontos
xk = k5, k=0,1,dots,5
usando o polinômio de Newton na forma de diferenças finitas, e então avaliar esse polinômio em x=0,23. Vamos precisar
  1. Calcular fk = e^xk.
  2. Construir a tabela de diferenças De<a fk,De<a^2fk,dots.
  3. Aplicar a fórmula de Newton–Gregory (diferenças forward) com passo h=0,2.

Passo 2

Montamos a tabela de diferenças finitas com passo h=0,2:
k xk fk=e^xk De<a fk De<a^2fk De<a^3fk De<a^4fk De<a^5fk
0 0,0 1,000000000 0,221402758 0,049019182 0,010852981 0,002402882 0,000532002
1 0,2 1,221402758 0,270421940 0,059872163 0,013255863 0,002934884
2 0,4 1,491824698 0,3302941028 0,073128025 0,016190747
3 0,6 1,822118800 0,4034221281 0,089318772
4 0,8 2,225540928 0,4927409000
5 1,0 2,718281829
Aqui usamos De<a fk = fk+1-fk, De<a^2fk=De<a fk+1-De<a fk etc.

Passo 3

A forma forward de Newton com 5 diferenças é
P5(x)=f0 ;+; t,De<a f0 ;+;t(t-1)2!,De<a^2f0 ;+;t(t-1)(t-2)3!,De<a^3f0 ;+;t(t-1)(t-2)(t-3)4!,De<a^4f0 ;+;t(t-1)(t-2)(t-3)(t-4)5!,De<a^5f0
onde
h = 0,2, t = x - x0h = 0,23 - 00,2 = 1,15

Passo 4

Calculamos cada termo (valores arredondados ao 7º dígito):
T0 &= f0 = 1,0000000, T1 &= t,De<a f0 = 1,15 times 0,2214028 = 0,2546132, T2 &= t(t-1)2,De<a^2f0 = 1,15cdot0,152times0,04901918 = 0,0042279, T3 &= t(t-1)(t-2)6,De<a^3f0 = 1,15cdot0,15cdot(-0,85)6times0,01085298 = -0,0002652, T4 &= t(t-1)(t-2)(t-3)24,De<a^4f0 = 1,15cdot0,15cdot(-0,85)cdot(-1,85)24times0,00240288 = 0,0000272, T5 &= t(t-1)(t-2)(t-3)(t-4)120,De<a^5f0 = 1,15cdot0,15cdot(-0,85)cdot(-1,85)cdot(-2,85)120times0,00053200 = -0,0000034

Passo 5

Somando os termos
P5(0,23) = T0+T1+T2+T3+T4+T5 = 1 + 0,2546132 + 0,0042279 - 0,0002652 + 0,0000272 - 0,0000034 = 1,2585997approx1,25860

Resposta

O valor aproximado é
e^0,23approx1,25860

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