Encontre a derivada de:
f(x)=\operatorname{sen}^{-1}\left(\frac{1}{2} x\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\operatorname{sen}^{-1}\!\Bigl(\tfrac{1}{2}x\Bigr),
ou seja, de uma função composta em que a parte exterior é a função arco-seno inverso e a interior é u(x)=\tfrac12x. Para resolver vamos usar o regra da cadeia e a fórmula da derivada de \operatorname{sen}^{-1}(u).

Passo 2

A fórmula para a derivada de \operatorname{sen}^{-1}(u) é
\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{sen}^{-1}(u)\bigr] =\frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}.
Aqui u(x)=\tfrac12x, então
u'(x)=\frac{d}{dx}\Bigl(\tfrac12x\Bigr)=\tfrac12.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia,
f'(x) =\frac{u'(x)}{\sqrt{1-\bigl(u(x)\bigr)^2}} =\frac{\tfrac12}{\sqrt{1-\bigl(\tfrac12x\bigr)^2}} =\frac{\tfrac12}{\sqrt{1-\tfrac{x^2}{4}}}.
Dentro da raiz temos
1-\frac{x^2}{4}=\frac{4-x^2}{4},
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\sqrt{1-\tfrac{x^2}{4}} =\sqrt{\frac{4-x^2}{4}} =\frac{\sqrt{4-x^2}}{2}.
Substituindo de volta em f'(x):
f'(x) =\frac{\tfrac12}{\frac{\sqrt{4-x^2}}{2}} =\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}.

Resposta

f'(x)=\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}.

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