Encontre a derivada da função
f(x)=cos (x^3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada da função f(x) = cos(x^3) . Isso está dentro do estudo de Derivadas, especificamente usando a Regra da Cadeia. Vamos precisar entender como derivar funções compostas, ou seja, funções dentro de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que formam a composição. Aqui, temos uma função externa cos(u) e uma função interna u = x^3 . A Regra da Cadeia nos ajuda a derivar funções compostas multiplicando a derivada da função externa pela derivada da função interna.

Passo 3

Vamos derivar a função externa cos(u) em relação a u . A derivada de cos(u) é -sin(u) .
ddu cos(u) = -sin(u)

Passo 4

Agora, vamos derivar a função interna u = x^3 em relação a x . A derivada de x^3 é 3x^2 .
dudx = 3x^2

Passo 5

Aplicando a Regra da Cadeia, multiplicamos a derivada da função externa pela derivada da função interna:
f'(x) = ddu cos(u) cdot dudx
Substituindo as derivadas que encontramos:
f'(x) = -sin(u) cdot 3x^2

Passo 6

Por fim, substituímos u de volta por x^3 :
f'(x) = -sin(x^3) cdot 3x^2

Resposta

f'(x) = -3x^2 sin(x^3)

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