Encontre a derivada da função
f(x)=(5 x^6+2 x^3)^3

Passo 1

Vamos resolver a derivada da função f(x) = (5x^6 + 2x^3)^3 . Estamos trabalhando com derivadas, especificamente usando a Regra da Cadeia, que é útil quando temos uma função composta. Para isso, precisamos entender como derivar potências e somas de funções.

Passo 2

Primeiro, identificamos que f(x) é uma função composta: uma função externa u^3 onde u = 5x^6 + 2x^3 . A Regra da Cadeia nos diz que a derivada de f(x) é a derivada da função externa em relação a u multiplicada pela derivada de u em relação a x .

Passo 3

Vamos derivar a função externa u^3 em relação a u . A derivada de u^n em relação a u é n cdot u^n-1 . Então, a derivada de u^3 é:
3u^2

Passo 4

Agora, derivamos a função interna u = 5x^6 + 2x^3 em relação a x . Para isso, aplicamos a Regra do Poder:
dudx = 5 cdot 6x^5 + 2 cdot 3x^2 = 30x^5 + 6x^2

Passo 5

Finalmente, aplicamos a Regra da Cadeia multiplicando as duas derivadas que encontramos:
f'(x) = 3u^2 cdot dudx = 3(5x^6 + 2x^3)^2 cdot (30x^5 + 6x^2)

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = 3(5x^6 + 2x^3)^2 cdot (30x^5 + 6x^2)

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