Encontre a derivada da função
f(x)=x^2 e^-3 x^2

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo para encontrar a derivada da função f(x) = x^2 e^-3x^2 . Para isso, vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia, que são técnicas fundamentais para derivar funções que são produtos de outras funções e funções compostas.

Passo 2

Primeiro, identificamos as duas funções que estão sendo multiplicadas na função f(x) :
  • u(x) = x^2
  • v(x) = e^-3x^2
A regra do produto nos diz que a derivada de f(x) = u(x)v(x) é:
f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)

Passo 3

Vamos calcular a derivada de u(x) = x^2 . Usando a regra básica de derivação, temos:
u'(x) = 2x

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada de v(x) = e^-3x^2 . Aqui, aplicamos a regra da cadeia porque temos uma função composta. A regra da cadeia nos diz que a derivada de e^g(x) é e^g(x) cdot g'(x) , onde g(x) = -3x^2 .
v'(x) = e^-3x^2 cdot ddx(-3x^2) = e^-3x^2 cdot (-6x) = -6x e^-3x^2

Passo 5

Aplicando a regra do produto, substituímos u'(x) , v(x) , u(x) e v'(x) na fórmula:
f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
Substituindo os valores encontrados:
f'(x) = (2x) e^-3x^2 + x^2 (-6x e^-3x^2)

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:
f'(x) = 2x e^-3x^2 - 6x^3 e^-3x^2
Podemos fatorar 2x e^-3x^2 :
f'(x) = 2x e^-3x^2 (1 - 3x^2)

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = 2x e^-3x^2 (1 - 3x^2)

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