Encontre a derivada da função
f(x)=1raiz[3]x^3-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função f(x) = 1raiz[3]x^3-1 . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente usando a Regra da Cadeia para derivadas. Vamos precisar reescrever a função de um jeito mais fácil de derivar e, passo a passo, aplicar as regras necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função f(x) de uma forma que facilite a diferenciação. Sabemos que 1raiz[3]x^3-1 pode ser escrita como (x^3-1)^-1/3 . Isso é porque raiz[3]a = a^1/3 , e o inverso é a^-1/3 .
Então, temos:
f(x) = (x^3-1)^-1/3

Passo 3

Agora, para encontrar a derivada de f(x) , vamos usar a Regra da Cadeia. A Regra da Cadeia é usada quando temos uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra função. No nosso caso, f(x) = (u)^-1/3 , onde u = x^3 - 1 .
A derivada de f(x) = u^n em relação a x é:
f'(x) = n cdot u^n-1 cdot u'
onde n é a potência, e u' é a derivada de u em relação a x .

Passo 4

Aplicando a Regra da Cadeia à nossa função:
  • n = -13
  • u = x^3 - 1
  • Vamos encontrar u' , que é a derivada de u em relação a x .
Calculando u' :
u' = ddx(x^3 - 1) = 3x^2

Passo 5

Agora, substituímos n , u e u' na fórmula da derivada:
f'(x) = -13 cdot (x^3 - 1)^-13 - 1 cdot 3x^2
Simplificando os expoentes e os coeficientes:
  • -13 - 1 = -43
  • -13 cdot 3x^2 = -x^2
Então, temos:
f'(x) = -x^2 cdot (x^3 - 1)^-43

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = -x^2(x^3 - 1)^43

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