Encontre as raízes de z^3=Z0
Z0=-1-iraiz2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as raízes da equação z^3 = Z0, onde Z0 = -1 - iraiz2. Vamos usar conceitos de números complexos, especificamente a forma polar e o Teorema de De Moivre, para encontrar todas as três raízes.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o número complexo Z0 = -1 - iraiz2. Vamos encontrar o módulo (ou magnitude) e o argumento (ou ângulo) desse número.
  • Módulo: É a distância do ponto ao zero no plano complexo.
    |Z0| = raiz(-1raiz2)^2 + (-1raiz2)^2 = raiz12 + 12 = raiz1 = 1
  • Argumento: É o ângulo que o número forma com o eixo real positivo.
    theta = arctan(-1/raiz2-1/raiz2) = arctan(1) = pi4
    Porém, como ambos os componentes são negativos, o número está no 3º quadrante, então adicionamos pi:
    theta = pi4 + pi = 5pi4
Então, podemos escrever Z0 na forma polar:
Z0 = 1 ( cos(5pi4) + i sin(5pi4) )

Passo 3

Agora, vamos usar o Teorema de De Moivre para encontrar as raízes cúbicas de Z0. O teorema diz que as raízes n-ésimas de um número complexo r (cos theta + i sin theta) são dadas por:
zk = r^1/n ( cos(theta + 2kpin) + i sin(theta + 2kpin) ), k = 0, 1, , n-1
No nosso caso, n = 3, r = 1 e theta = 5pi4. Vamos calcular para k = 0, 1, 2.
  1. Para k = 0:
    z0 = 1^1/3 ( cos(5pi4 + 0) + i sin(5pi4 + 0) ) = cos(5pi12) + i sin(5pi12)
  2. Para k = 1:
    z1 = 1^1/3 ( cos(5pi4 + 2pi cdot 1) + i sin(5pi4 + 2pi cdot 1) ) = cos(13pi12) + i sin(13pi12)
  3. Para k = 2:
    z2 = 1^1/3 ( cos(5pi4 + 2pi cdot 2) + i sin(5pi4 + 2pi cdot 2) ) = cos(21pi12) + i sin(21pi12)
    Simplificando 21pi12 = 7pi4:
    z2 = cos(7pi4) + i sin(7pi4)

Resposta

As três raízes de z^3 = Z0 são:
z0 &= cos(5pi12) + i sin(5pi12), z1 &= cos(13pi12) + i sin(13pi12), z2 &= cos(7pi4) + i sin(7pi4)

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