Encontre as raízes de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as raízes da equação
, onde
. Vamos usar conceitos de números complexos, especificamente a forma polar e o Teorema de De Moivre, para encontrar todas as três raízes.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o número complexo
. Vamos encontrar o módulo (ou magnitude) e o argumento (ou ângulo) desse número.
-
Módulo: É a distância do ponto ao zero no plano complexo.
-
Argumento: É o ângulo que o número forma com o eixo real positivo.Porém, como ambos os componentes são negativos, o número está no 3º quadrante, então adicionamos
:
Então, podemos escrever
na forma polar:
Passo 3
Agora, vamos usar o Teorema de De Moivre para encontrar as raízes cúbicas de
. O teorema diz que as raízes
-ésimas de um número complexo
são dadas por:
No nosso caso,
,
e
. Vamos calcular para
.
-
Para
: -
Para
: -
Para
: Simplificando:
Resposta
As três raízes de
são: