Encontre a derivada da função dada usando a definição. Ache um ou vários pontos sobre o gráfico da função em que a reta tangente é paralela à reta dada: f(x)=-x^3+4 ; 12 x+y=4

Passo 1

O enunciado pede para calcularmos a derivada da função f(x)=-x^3+4 usando a definição de derivada e, em seguida, encontrarmos os pontos do gráfico onde a reta tangente é paralela à reta dada 12x+y=4. Vamos precisar da definição de derivada e do coeficiente angular de retas parallelas.

Passo 2

Pela definição de derivada, escrevemos
f'(x) = limh to 0 f(x+h)-f(x)h
Substituindo f(x)=-x^3+4, calculamos f(x+h) e a diferença.

Passo 3

Calculamos a diferença:
f(x+h)-f(x) = [-(x+h)^3+4] - [-x^3+4] = -3x^2h - 3xh^2 - h^3
Dividindo por h e tomando limite, obtemos
f'(x) = limh to 0 (-3x^2 - 3xh - h^2) = -3x^2

Passo 4

Para a reta dada 12x+y=4, escrevemos na forma y=mx+b para identificar o coeficiente angular:
y = -12x + 4 Rightarrow m=-12

Passo 5

Igualamos f'(x) a -12:
-3x^2 = -12 Rightarrow x^2 = 4 Rightarrow x = pm 2
Calculamos as ordenadas:
f(2) = -2^3 + 4 = -8 + 4 = -4,
f(-2) = -(-2)^3 + 4 = 8 + 4 = 12
Assim, os pontos são (2,-4) e (-2,12).

Resposta

A derivada é f'(x)=-3x^2. Os pontos onde a reta tangente é paralela à reta dada são (2,-4) e (-2,12).

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