lim t 0^+(cos t, sen t, t ln t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular o limite quando $ t $ se aproxima de 0 pela direita da função vetorial $ (\cos t, \sin t, t \ln t) $. Isso envolve trigonometria e limites envolvendo funções logarítmicas e trigonométricas. Vamos precisar lembrar como cada uma dessas funções se comporta perto de 0.

Passo 2

Vamos começar avaliando o primeiro componente da função: $ \cos t $. Sabemos que $ \cos 0 = 1 $ e que o cosseno é uma função contínua. Isso significa que, conforme $ t $ se aproxima de 0, $ \cos t $ se aproxima de $ \cos 0 $.
Matematicamente:
cos t

Passo 3

Agora, vamos para o segundo componente: $ \sin t $. Similar ao cosseno, o seno também é uma função contínua e sabemos que $ \sin 0 = 0 $. Então, conforme $ t $ se aproxima de 0, $ \sin t $ se aproxima de $ \sin 0 $.
Matematicamente:
sin t

Passo 4

Por último, temos o terceiro componente: $ t \ln t $. Aqui, precisamos um pouco mais de atenção. Quando $ t $ se aproxima de 0 pela direita ($ t \to 0^{+} $), $ \ln t $ tende a $ -\infty $, mas $ t $ está tendendo a 0. Então, estamos lidando com uma indeterminação do tipo $ 0 \times (-\infty) $.
Para resolver isso, podemos reescrever $ t \ln t $ como $ \frac{\ln t}{1/t} $ e aplicar a Regra de L’Hôpital, que é útil para limites do tipo $ \frac{-\infty}{\infty} $.
Primeiro, reescrevendo:
t ln t
Aplicando a Regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador:
t
Então, $ \lim_{t \to 0^{+}} t \ln t = 0 $.

Resposta

limt to 0^+ (cos t, sin t, t ln t) = (1, 0, 0)

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