Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular o limite quando $ t $ se aproxima de 0 pela direita da função vetorial $ (\cos t, \sin t, t \ln t) $. Isso envolve trigonometria e limites envolvendo funções logarítmicas e trigonométricas. Vamos precisar lembrar como cada uma dessas funções se comporta perto de 0.
Passo 2
Vamos começar avaliando o primeiro componente da função: $ \cos t $. Sabemos que $ \cos 0 = 1 $ e que o cosseno é uma função contínua. Isso significa que, conforme $ t $ se aproxima de 0, $ \cos t $ se aproxima de $ \cos 0 $.
Matematicamente:
Passo 3
Agora, vamos para o segundo componente: $ \sin t $. Similar ao cosseno, o seno também é uma função contínua e sabemos que $ \sin 0 = 0 $. Então, conforme $ t $ se aproxima de 0, $ \sin t $ se aproxima de $ \sin 0 $.
Matematicamente:
Passo 4
Por último, temos o terceiro componente: $ t \ln t $. Aqui, precisamos um pouco mais de atenção. Quando $ t $ se aproxima de 0 pela direita ($ t \to 0^{+} $), $ \ln t $ tende a $ -\infty $, mas $ t $ está tendendo a 0. Então, estamos lidando com uma indeterminação do tipo $ 0 \times (-\infty) $.
Para resolver isso, podemos reescrever $ t \ln t $ como $ \frac{\ln t}{1/t} $ e aplicar a Regra de L’Hôpital, que é útil para limites do tipo $ \frac{-\infty}{\infty} $.
Primeiro, reescrevendo:
Aplicando a Regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador:
Então, $ \lim_{t \to 0^{+}} t \ln t = 0 $.