Encontre uma equação da reta tangente ao gráfico da função no número indicado: y=x-1x ; x=1

Passo 1

Então, a gente tem que encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto onde . Isso pertence ao conteúdo de cálculo, mais especificamente derivadas, que nos ajudam a achar a inclinação da reta tangente. Vamos precisar calcular o valor da função em e a sua derivada nesse ponto para conseguir montar a equação da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de y = 1 - 11 = 1 - 1 = 0 quando . Substituindo na função:
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da função ddx(x) = 1 . A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da função. Vamos derivar cada parte:
ddx(-1x) = 1x^2
y' = 1 + 1x^2
Portanto, a derivada da função é:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada no ponto y'(1) = 1 + 11^2 = 1 + 1 = 2 :
Então, a inclinação da reta tangente nesse ponto é 2.

Passo 5

Finalmente, vamos usar a fórmula da reta tangente, que é:
y - y1 = m(x - x1)
Onde y - 0 = 2(x - 1) é a inclinação e y = 2x - 2 é o ponto de tangência. Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:

Resposta

A equação da reta tangente é .

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