Utilize a Transformada de Laplace para resolver o seguinte problema: Uma bobina de resistência desprezível e indutância 1henry está disposta em série com um capacitor de capacidade farads em uma fem de Evolts. Assumindo que , para , achar a carga e a corrente para , supondo que .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de circuito RLC usando a Transformada de Laplace. O enunciado nos dá uma bobina com indutância e um capacitor com capacitância , tudo isso em série com uma fonte de tensão de . As condições iniciais são de carga e corrente no tempo . Nosso objetivo é encontrar a carga e a corrente no instante . Para resolver isso, vamos usar as equações dos circuitos RLC e aplicar a Transformada de Laplace, que ajuda a transformar equações diferenciais em algébricas, facilitando a solução.
Passo 2
Primeiro, precisamos montar a equação diferencial que descreve o comportamento do circuito. Em um circuito LC em série, de acordo com a Lei de Kirchhoff das Tensões (KVL), a soma das tensões no indutor e no capacitor é igual à tensão da fonte:
Aqui, é a corrente no circuito. Substituindo na equação, temos:
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem que vamos resolver usando a Transformada de Laplace.
Passo 3
Aplicando a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação, lembrando que e .
Como as condições iniciais são Q(0) = 0 e I(0) = dQdtg|t=0 = 0, a equação transformada fica:
E/s = L (s^2 Q(s)) + Q(s)C
Passo 4
Agora, vamos isolar Q(s):
Es = L s^2 Q(s) + Q(s)C
Factorizando Q(s):
Es = Q(s) ( L s^2 + 1C )
Portanto:
Q(s) = Es ( L s^2 + 1C )
Substituindo os valores de L = 1 , H e C = 10^-4 , F: