Utilize a Transformada de Laplace para resolver o seguinte problema: Uma bobina de resistência desprezível e indutância 1henry está disposta em série com um capacitor de capacidade C=10^-4 farads em uma fem de Evolts. Assumindo que Q=I=0, para t=0, achar a carga Q e a corrente I para t=0,02 s, supondo que E=100 vo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de circuito RLC usando a Transformada de Laplace. O enunciado nos dá uma bobina com indutância L = 1 , H e um capacitor com capacitância C = 10^-4 , F, tudo isso em série com uma fonte de tensão de E = 100 , V. As condições iniciais são de carga Q = 0 e corrente I = 0 no tempo t = 0. Nosso objetivo é encontrar a carga Q e a corrente I no instante t = 0,02 , s. Para resolver isso, vamos usar as equações dos circuitos RLC e aplicar a Transformada de Laplace, que ajuda a transformar equações diferenciais em algébricas, facilitando a solução.

Passo 2

Primeiro, precisamos montar a equação diferencial que descreve o comportamento do circuito. Em um circuito LC em série, de acordo com a Lei de Kirchhoff das Tensões (KVL), a soma das tensões no indutor e no capacitor é igual à tensão da fonte:
E = L dIdt + QC
Aqui, I = dQdt é a corrente no circuito. Substituindo I na equação, temos:
E = L d^2Qdt^2 + QC
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem que vamos resolver usando a Transformada de Laplace.

Passo 3

Aplicando a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação, lembrando que LQ(t) = Q(s) e Ld^2Qdt^2 = s^2 Q(s) - s Q(0) - dQdtg|t=0.
Como as condições iniciais são Q(0) = 0 e I(0) = dQdtg|t=0 = 0, a equação transformada fica:
E/s = L (s^2 Q(s)) + Q(s)C

Passo 4

Agora, vamos isolar Q(s):
Es = L s^2 Q(s) + Q(s)C
Factorizando Q(s):
Es = Q(s) ( L s^2 + 1C )
Portanto:
Q(s) = Es ( L s^2 + 1C )
Substituindo os valores de L = 1 , H e C = 10^-4 , F:
Q(s) = 100s ( s^2 + 1(1)(10^-4) ) = 100s (s^2 + 10^4)

Passo 5

Agora, vamos fazer uma fração parcial para simplificar a expressão:
Q(s) = 100s (s^2 + 10^4) = As + Bs + Cs^2 + 10^4
Multiplicando ambos os lados por s (s^2 + 10^4):
100 = A (s^2 + 10^4) + (Bs + C) s
Comparando os coeficientes, temos:
  • Para s^2: A = 0
  • Para s: B = 0
  • Para constante: A cdot 10^4 + C cdot 0 = 100
Portanto, A = 10010^4 = 0,01, B = 0, e C é qualquer valor, mas como B = 0, podemos simplificar:
Q(s) = 0,01s + 0s^2 + 10^4 = 0,01s

Passo 6

Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace para encontrar Q(t):
Q(t) = L^-1 0,01s = 0,01 cdot L^-1 1s = 0,01 cdot 1 = 0,01 , C
Agora, para encontrar a corrente I(t), lembramos que I(t) = dQdt. Como Q(t) é constante, então:
I(t) = ddt (0,01) = 0 , A

Resposta

A carga no instante t = 0,02 , s é Q = 0,01 , C e a corrente é I = 0 , A.

Exercícios relacionados