Encontre a derivada da função dada usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.
d) f(x) = 1/(x + 2);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função usando a definição de derivada. Além disso, vamos identificar os domínios da função original e da sua derivada. Para isso, vamos usar o conceito básico de derivada e analisar onde a função está bem definida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada. A derivada de uma função em um ponto é o limite:
Isso significa que vamos calcular esse limite para encontrar a derivada da nossa função.

Passo 3

Vamos aplicar a definição na nossa função . Substituindo na fórmula, temos:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro do limite. Primeiro, encontramos o denominador comum para subtrair as frações:
Agora, substituímos de volta na expressão do limite:

Passo 5

Podemos simplificar o presente no numerador e no denominador:

Passo 6

Agora, tiramos o limite quando se aproxima de 0:

Passo 7

Por fim, vamos determinar os domínios:
  • Domínio da função : A função está definida para todos os onde o denominador não é zero. Portanto, .
  • Domínio da derivada : A derivada também está definida para todos os onde o denominador não é zero. Como nunca é zero a não ser quando , o domínio é o mesmo da função original: .

Resposta

A derivada da função é .
Domínio da função : e .
Domínio da derivada : e .

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