Encontre a derivada da função dada usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.
d)
;
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função
usando a definição de derivada. Além disso, vamos identificar os domínios da função original e da sua derivada. Para isso, vamos usar o conceito básico de derivada e analisar onde a função está bem definida.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada. A derivada de uma função
em um ponto
é o limite:
Isso significa que vamos calcular esse limite para encontrar a derivada da nossa função.
Passo 3
Vamos aplicar a definição na nossa função
. Substituindo na fórmula, temos:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro do limite. Primeiro, encontramos o denominador comum para subtrair as frações:
Agora, substituímos de volta na expressão do limite:
Passo 5
Podemos simplificar o
presente no numerador e no denominador:
Passo 6
Agora, tiramos o limite quando
se aproxima de 0:
Passo 7
Por fim, vamos determinar os domínios:
-
Domínio da função
: A função está definida para todos os onde o denominador não é zero. Portanto, . -
Domínio da derivada
: A derivada também está definida para todos os onde o denominador não é zero. Como nunca é zero a não ser quando , o domínio é o mesmo da função original: .
Resposta
A derivada da função é
.
Domínio da função
:
e
.
Domínio da derivada
:
e
.