Suponha que uma soma de dinheiro é depositada em um fundo de banco que paga juros à taxa anual r. O valor s(t), do investimento em qualquer tempo t depende da frequência com que o interesse é agravado tão bem como a taxa de juros. As instituições financeiras têm várias políticas relativas à composição: alguns compostos mensalmente, alguns semanal, alguns até diariamente. Se assumirmos que a composição é realizada continuamente, então podemos criar um problema de valor inicial simples que descreve o crescimento do investimento.
A taxa de variação do valor do investimento é dS/dt, e esta quantidade é igual à taxa na qual interesse vencida, qual é a taxa de juros r vezes o valor atual do investimento S(t). Assim, a
dS/dt = rS
é a equação diferencial que governa o processo. Suponha que nós também sabemos o valor do investimento em um determinado tempo, digamos, S(0) = S0.
Qual, a solução do problema de valor inicial dá o equilíbrio S(t) na conta em qualquer tempo t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema sobre como o dinheiro cresce num fundo de investimento que paga juros contínuos. A gente quer descobrir quanto dinheiro teremos após um certo tempo, usando uma equação que relaciona a taxa de juros e o valor atual do investimento. Para isso, vamos usar equações diferenciais, que são ferramentas matemáticas para modelar como algo muda ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, a equação que descreve como o valor do investimento muda com o tempo é dada por:
Aqui, representa a taxa de variação do valor do investimento S em relação ao tempo t, e r é a taxa de juros anual.

Passo 3

Essa equação é uma equação diferencial de primeira ordem e é do tipo separável, o que significa que podemos separar as variáveis S e t para resolver. Vamos fazer isso:
Primeiro, dividimos ambos os lados por S:

Passo 4

Agora, integramos ambos os lados em relação ao tempo t:
No lado esquerdo, a integral de em relação a t simplifica para , e no lado direito, a integral de r em relação a t é mais uma constante de integração C.
Então, temos:

Passo 5

Para resolver para S, vamos eliminar o logaritmo aplicando a função exponencial em ambos os lados:
Isso simplifica para:
Como S representa um valor de investimento e é positivo, podemos remover as barras de valor absoluto:

Passo 6

Podemos simplificar ainda mais substituindo por uma nova constante (que representa o valor inicial do investimento):

Resposta

A solução para o valor do investimento em qualquer tempo t é:

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