Suponha que uma soma de dinheiro é depositada em um fundo de banco que paga juros à taxa anual
. O valor
, do investimento em qualquer tempo
depende da frequência com que o interesse é agravado tão bem como a taxa de juros. As instituições financeiras têm várias políticas relativas à composição: alguns compostos mensalmente, alguns semanal, alguns até diariamente. Se assumirmos que a composição é realizada continuamente, então podemos criar um problema de valor inicial simples que descreve o crescimento do investimento.
A taxa de variação do valor do investimento é dS/dt, e esta quantidade é igual à taxa na qual interesse vencida, qual é a taxa de juros
vezes o valor atual do investimento
. Assim, a
é a equação diferencial que governa o processo. Suponha que nós também sabemos o valor do investimento em um determinado tempo, digamos,
.
Qual, a solução do problema de valor inicial dá o equilíbrio
na conta em qualquer tempo
.
A taxa de variação do valor do investimento é dS/dt, e esta quantidade é igual à taxa na qual interesse vencida, qual é a taxa de juros
Qual, a solução do problema de valor inicial dá o equilíbrio
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um problema sobre como o dinheiro cresce num fundo de investimento que paga juros contínuos. A gente quer descobrir quanto dinheiro teremos após um certo tempo, usando uma equação que relaciona a taxa de juros e o valor atual do investimento. Para isso, vamos usar equações diferenciais, que são ferramentas matemáticas para modelar como algo muda ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, a equação que descreve como o valor do investimento muda com o tempo é dada por:
Aqui,
representa a taxa de variação do valor do investimento
em relação ao tempo
, e
é a taxa de juros anual.
Passo 3
Essa equação é uma equação diferencial de primeira ordem e é do tipo separável, o que significa que podemos separar as variáveis
e
para resolver. Vamos fazer isso:
Primeiro, dividimos ambos os lados por
:
Passo 4
Agora, integramos ambos os lados em relação ao tempo
:
No lado esquerdo, a integral de
em relação a
simplifica para
, e no lado direito, a integral de
em relação a
é
mais uma constante de integração
.
Então, temos:
Passo 5
Para resolver para
, vamos eliminar o logaritmo aplicando a função exponencial em ambos os lados:
Isso simplifica para:
Como
representa um valor de investimento e é positivo, podemos remover as barras de valor absoluto:
Passo 6
Podemos simplificar ainda mais substituindo
por uma nova constante
(que representa o valor inicial do investimento):
Resposta
A solução para o valor do investimento em qualquer tempo
é: