a) Encontre y' derivando implicitamente.
b) Resolva a equação explicitamente isolando y e derive para obter y' em termos de x.
c) Verifique que suas soluções para as partes (a) e (b) são consistentes substituindo a expressão por y na solução para a parte (a).
I) x * y + 2 * x + 3 * x^2 = 4;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação envolvendo e : . O conteúdo aqui é derivação implícita e derivação explícita de funções. Vamos precisar lembrar das regras de derivação, como a regra do produto e como isolar uma variável para derivar de forma explícita.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte a): encontrar usando derivação implícita. A derivação implícita é usada quando está misturado com e não está isolado. A gente vai diferenciar cada termo da equação em relação a :
Para o termo , usamos a regra do produto:
Derivando os outros termos:
E a derivada de uma constante é zero:
Então, juntando tudo:

Passo 3

Agora, vamos isolar . Primeiro, colocamos todos os termos sem do outro lado:
E dividimos por :

Passo 4

Parte b): resolver a equação explicitamente para e então derivar para obter em termos de . Vamos isolar na equação original:
Subtraindo de ambos os lados:
Dividindo por :
Agora, derivamos em relação a :
Derivando cada termo:
Então:

Passo 5

Parte c): vamos verificar se as soluções das partes a) e b) são consistentes. Na parte a), encontramos:
Da parte b), sabemos que:
Vamos substituir esse na expressão de a):
Simplificando:
Que é exatamente o que encontramos na parte b). Então, as soluções são consistentes!

Resposta

As soluções para as partes a) e b) são consistentes e ambas resultam em:

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