a) Encontre
derivando implicitamente.
b) Resolva a equação explicitamente isolando
e derive para obter
em termos de
.
c) Verifique que suas soluções para as partes (a) e (b) são consistentes substituindo a expressão por
na solução para a parte (a).
I)
;
b) Resolva a equação explicitamente isolando
c) Verifique que suas soluções para as partes (a) e (b) são consistentes substituindo a expressão por
I)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação envolvendo
e
:
. O conteúdo aqui é derivação implícita e derivação explícita de funções. Vamos precisar lembrar das regras de derivação, como a regra do produto e como isolar uma variável para derivar de forma explícita.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte a): encontrar
usando derivação implícita. A derivação implícita é usada quando
está misturado com
e não está isolado. A gente vai diferenciar cada termo da equação em relação a
:
Para o termo
, usamos a regra do produto:
Derivando os outros termos:
E a derivada de uma constante é zero:
Então, juntando tudo:
Passo 3
Agora, vamos isolar
. Primeiro, colocamos todos os termos sem
do outro lado:
E dividimos por
:
Passo 4
Parte b): resolver a equação explicitamente para
e então derivar para obter
em termos de
. Vamos isolar
na equação original:
Subtraindo
de ambos os lados:
Dividindo por
:
Agora, derivamos
em relação a
:
Derivando cada termo:
Então:
Passo 5
Parte c): vamos verificar se as soluções das partes a) e b) são consistentes. Na parte a), encontramos:
Da parte b), sabemos que:
Vamos substituir esse
na expressão de a):
Simplificando:
Que é exatamente o que encontramos na parte b). Então, as soluções são consistentes!
Resposta
As soluções para as partes a) e b) são consistentes e ambas resultam em: