Nos Exercícios 1-12, calcule a integral iterada.
  1. integral1^2 integral0^4 2 x y d y d x

Passo 1

Vamos resolver o exercício de calcular a integral iterada . Esse tipo de integral pertence ao cálculo integral, especificamente às integrais duplas, onde a gente integra uma função sobre uma região no plano. Para resolver, vamos precisar integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a função integral 2xy , dy = 2x integral y , dy = 2x cdot y^22 = x y^2 em relação a , mantendo como uma constante. A integral de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos avaliar essa antiderivada entre os limites de x y^2 g|0^4 = x (4)^2 - x (0)^2 = 16x - 0 = 16x e :

Passo 4

Em seguida, vamos integrar integral1^2 16x , dx = 16 integral x , dx = 16 cdot x^22 = 8x^2 em relação a de 1 a 2:

Passo 5

Por fim, vamos avaliar essa antiderivada entre os limites de 8x^2 g|1^2 = 8 (2)^2 - 8 (1)^2 = 32 - 8 = 24 e :

Resposta

O valor da integral iterada é 24.

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