Encontre a derivada da função dada usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.
f(x)=sen(2 x+3).

Passo 1

A gente tem a função f(x)=sin(2x+3). O conteúdo é derivada pela definição, e pra resolver vamos usar f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h e depois uma identidade pra diferença de senos.

Passo 2

Escrevendo a definição fica
f'(x)=limhto0sinl(2(x+h)+3r)-sin(2x+3)h

Passo 3

Repara que sin(2(x+h)+3)=sin(2x+2h+3), então o numerador é
sin(2x+2h+3)-sin(2x+3)

Passo 4

Agora usamos a identidade
sin A-sin B = 2cosl(tfracA+B2r)sinl(tfracA-B2r)
com A=2x+2h+3 e B=2x+3. Assim o numerador vira
2cos(2x+h+3),sin h

Passo 5

O limite passa a ser
f'(x)=limhto02cos(2x+h+3),sin hh
Como limhto0sin hh=1 e cos é contínua, dá
f'(x)=2cos(2x+3)

Passo 6

Como sin e cos são definidas em todo R, o domínio de f e de f' é R.

Resposta

A derivada é f'(x)=2cos(2x+3). Domínios de f e de f': R.

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