Encontre a derivada da função dada usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.
.
Passo 1
A gente tem a função
. O conteúdo é derivada pela definição, e pra resolver vamos usar
e depois uma identidade pra diferença de senos.
Passo 2
Escrevendo a definição fica
Passo 3
Repara que
, então o numerador é
Passo 4
Agora usamos a identidade
com
e
. Assim o numerador vira
Passo 5
O limite passa a ser
Como
e
é contínua, dá
Passo 6
Como
e
são definidas em todo
, o domínio de
e de
é
.
Resposta
A derivada é
. Domínios de
e de
:
.