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Calcule lim x -1^+ x^2-1raizx+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve funções racionais e raízes. O enunciado pede para a gente calcular . Vamos precisar entender como comportam-se o numerador e o denominador quando se aproxima de pela direita, e podemos usar a Regra de L’Hospital se encontrarmos uma forma indeterminada.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador e o denominador quando se aproxima de . Substituindo :
  • Numerador:
  • Denominador:
Como tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero, temos uma forma indeterminada . Isso significa que podemos aplicar a Regra de L’Hospital para simplificar o limite.

Passo 3

A Regra de L’Hospital nos diz que se ou , então podemos calcular .
Vamos calcular as derivadas do numerador e do denominador:
  • Derivada do numerador ( ):
  • Derivada do denominador ( ):

Passo 4

Aplicando a Regra de L’Hospital, substituímos as derivadas no limite:
lim x -1^+ 2x12raizx+1 = lim x -1^+ 4x raizx+1
Agora, vamos calcular esse novo limite. Quando se aproxima de pela direita:
  • , então
Multiplicando os dois resultados:

Resposta

O limite é igual a .

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